その他代数
A = (A, ・, ε) はアクセッサのモノイドとaする。このモノイドは無限でもいいメンバー抽出演算子記号〈member extraction operator symbol〉からの自由半群。集合 X は、文書コレクション、つまり、親の文書空間の部分空間。文書コレクション X + {⊥} にモノ…
hom internal hom Linz linearlization MultiVec multilinear map of vec. spaces tensrep tensor representation swtensrep swapped tensor representation 使う射、すべて 。 別名・別記法 sw swap ev evaluation coev coevaluation icomp internal compos…
線形等式的法則〈linear equational law〉に関しては、障害子〈obstructor〉を考えることができる。あらゆる法則に関して障害子を考えてみる。たぶんいいことある。階付きベクトル空間の自己射で、次数1のものをアップ作用素と呼ぶ。アップ作用素を備えた階…
例： 交換法則に対する障害子は交換障害子＝交換子例：ライプニッツ法則に対する障害子はライプニッツ障害子〈Leibniz obstructor〉
これまたグロタンディーク起源らしいが、http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/AM/09-4/roger.pdf に何気なくちょっと書いてあった代数的微分作用素〈algebraic differential operator〉。Aは階付き可換代数とする。次数〈階数 degree | grade〉r…
ド・ラーム復体とホモトピー - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) に書いた＋α ホモトピー圏： 局所化した圏 ホモトピカル圏： 局所化可能な圏の一種、弱同値を持つ圏とほぼ同じ ホモトピック圏： 鎖複体の圏の鎖ホモトピック合同関係で割った合同付き…
重要な概念$`\newcommand{\For}{\mbox{For }}% \newcommand{\hyp}{\mbox{-}}% \newcommand{\In}{\mbox{ in }}% \newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow}% \newcommand{\WeDefine}{\mbox{WeDefine } }% \newcommand{\CAT}{{\bf CAT}}% \newcommand{\st}{\mbox{ s.…
加減乗 +, -. * 逆行列 inv(-) 転置行列 ' ランク rank(-) カーネルの基底 null(-) 行列式 det(-) トレース trace(-) 三角化 triu(-), tril(-) 方程式を解く linsolve(A, b) Ax = b を解く。
微分射、ライプニッツ射、導分、共変微分 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 の続き。相対可換環 Φ/K （Kは体）があるとして、DerK(Φ) = Der(Φ/K) は可換環の導分で、Kはゼロにするもの。導分はこの意味で使うのがいいかもしれない。XとYが(Φ/K)-加群…
微分射、ライプニッツ射、導分、共変微分が同義語でいいかどうか疑問になってきた。微分階付き＝DG の意味の微分は平方零な作用素になっている。 ライプニッツ{射 | 作用素}： ライプニッツ法則を満たす{射 | 作用素} 導分 ： 相対多元環（非可換でもよい）…
DG代数の微分は、平方零微分。平方零性は仮定する。 曲DG代数の微分は、平方零を仮定せず、曲平方公式を仮定し、曲がりはコサイクルだとする（ビアンキ恒等式〈Bianchi identity〉）。 非ビアンキ曲DG代数は、曲平方公式は仮定するが、曲がりがコサイクルと…
微分作用素の言い方： 階付きライプニッツ作用素 ： 階付き加群層の自己作用素＝R-自己線形層射 が階付きライプニッツ法則を満たすとき、階付きライプニッツ作用素 {階付き}?半微分作用素 ＝ 階付きライプニッツ作用素 {階付き}?微分作用素 ＝ 平方零〈nilqu…
主等質空間を主空間〈principal space〉と呼ぶ。 群主空間 ： 群が作用する主空間 可換群主空間 ： 可換群が作用する主空間 ベクトル空間主空間 ： ベクトル空間が作用する主空間＝アフィン空間。可換群主空間の一種。 加群主空間 ： 加群が作用する主空間。…
「ベクトル層」は曖昧でよくない。ベクトルバンドルから作られた層＝局所有限階数自由加群層はベクトルバンドル層と呼ぶ。一方、体の局所定数層の上のベクトル空間層は、ベクトル空間層。 ベクトル空間層は、ベクトル空間の層 ベクトルバンドル層は、可換環…
曲DG加群 -- 曲率の代数構造 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 の続き。次数1の階付き微分作用素（作用素、テンソル作用素、微分作用素 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 参照）が平方零性を持たないと、コホモロジー・マシンナリィを起動〈in…
「非可換」は「可換ではない」じゃなくて「可換性を仮定しない」という意味。Kは体。階付き{外}?微分〈graded {exterior}? {derivative | differential}〉は平方零性を持つ微分のこと。平方零性をはずした微分を階付き半微分〈graded {semiderivative | semi…
テンソル{積}?{ベクトル}?空間 テンソルベクトル ： テンソル積ベクトル空間の要素 {マルチ | 複}ベクトル ： Vn = V×n の要素 マルチベクトルのテンソル{ベクトル}?化 ： Vn → V⊗n マルチベクトルの交代テンソル{ベクトル}?化 ： Vn → V∧n マルチベクトルの…
有限個のベクトル空間からなる同伴クラブがあり、同伴クラブのメンバー V ごとにスカラー積 (-|-)V が指定されていて、 (y|x)V = (x|y)￢V 同伴クラブのペア（メンバーではない！）ごとにインデックス集合Iが割り当てられていて、互いに相反な基底 a, a# も…
用語・記号の変更 双対空間 → パートナー空間 ￢V は、Vのパートナー空間 V* は、Vのフォーム空間、ホム空間と考える。 V* は、Vのポインター空間、ホム空間と考える。 fの双対は双対のままだが、対偶〈contraposition〉、転置〈transposition〉、メイトとも…
ドミニオン - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 ドミニオン＝厳密対合関手を備えた対象モノイド亜群 ドミニオン (2) - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 ドミニオン＝基本ベクトル空間の有限集合 から生成された厳密対合関手を備えた対象モノイド…
一値論理＝コンパクト論理 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 を敷衍。 行列 線形写像 コンパクト論理 ストリング図 スカラー対象 真偽値「空」 無、点線 スカラー射 矛盾シーケント 無ワイヤーノード 対象 命題 ワイヤー 複対象 命題リスト ケーブル …
ドミニオンについては： 紆余曲折、ドミニオン - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 ドミニオンの定義は； 小さい対称モノイド圏 モノイド否定（厳密対合）を持つ。 組み合わせ基底を持つ。 ドミニオンがコンパクト閉構造 (￢, η, ε) を持つとき、コンパ…
ドミニオン 「ドミニオン」を採用した理由は： 小さく、 よく統治されている。 ドミニオン〈dominion〉の定義は： 台は、小さい対称モノイド圏Cである。 モノイド否定 (￢, δ) が載っている。 特定された組み合わせ基底 B⊆|C| を持つ。 モノイド否定〈monoid…
strictly involutive symmetric monoidal vertically-and-horizontally contravariant endo-functor 長い！ ので、モノイド否定〈monoidal negation〉またはテンソル否定〈tensor negation〉と呼ぶことにする。category with monoidal negation は、symmetri…
Lin = Vect MLin = 複線形写像を射とする圏。対象はベクトル空間のリスト（公平タプル） PLin = 多線形写像を射とする圏。対象はベクトル空間のリスト（公平タプル） PLin は MLin上のテンソル積モナドのクライスリ圏 PLinの射（クライスリ射）をテンソルと…
ドミニオンをテンソル・ドミニオンと呼ぶことにする。厳密対合とやせた亜群は条件に入る。極性 p:D→{+, -}* も仮定する。A→￢A という射が自然変換として割り当てられているときは相反的テンソル・ドミニオンと呼ぶ。 ベクトル空間のテンソル・ドミニオン。…
Vはベクトル空間として、V#を、双対ペアの相方空間とする。(V#, V, <-|->) がペア。IはVの（事前に決めた）インデックス集合。I#は、相方インデックス集合で、#:I→I# をインデックス双射、#~は線形化 <I>→<I#>とする。この状況で、 FrameI(V) := Iso(<I>, V) CoframI(V</i></i#></i>…
多行列は、複インデックス〈多重インデックス〉集合のペアから作った複インデックス・ペアにベクトル空間の値を対応させる写像。複インデックス集合＝インデックス集合の列を I, J などとして、Π(I)×Π(J)→V 。ベクトル空間Vとして、多線形写像のホム空間を取…
ベクトル空間Vを基本として、線形要素は ベクトル (→V) フォーム (V→) コベクトル (→#V) コフォーム (#V→) 線形基準は フレーム ({I}→V) ゲージ (V→{I}) コフレーム ({#I}→#V) コゲージ (#V→{#I}) 変換は、 ゲルフォント変換： ベクトル→コフォーム 余ゲルフ…
