圏一般論

随伴トリプルと双ファイブレーション

https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+fibration#opfibrations_and_bifibrations 全圏と底圏の反対圏を取ったものがファイブレーションなら、それは反ファイブレーション。反ファイブレーションは、共変のインデックス付き圏=余インデックス付き圏に…

インターフェイス、オペセット、算子〈アイテム〉

「ホムセット要素/色/極性の相当物の呼び名」の続き。 図/図式〈ダイアグラム〉はキャンバスに描かれる。 キャンバスに穴〈holes〉があるかも知れない。 穴はインターフェイスを持ち、キャンバス自体も(外部境界の)インターフェイスを持つ。 複数の穴は…

バエズ/ドーラン・ツリーの呼び名

バエズ/ドーラン・ツリー 星座図 入れ子のワイヤリング図 バエズ/ドーラン低木〈shrub〉 平坦な星座図 ワイヤリング図 バエズ/ドーラン低木 シームレス・バエズ/ドーラン・ツリー 高さ1以下のバエズ/ドーラン・ツリー ワイヤリング・パターン = ワイヤ…

ホムセット要素/色/極性の相当物の呼び名

ホムセット相当物の要素をなんと呼ぶか? セル アロー エッジ フェース ハイパーエッジ 射 オペレーション テンソル 状態 項 構造(スピシーズのとき) オブジェクト(一般的なモノとして) ホムセット相当物に作用する写像は: コンビネータ メタオペレーシ…

半グラフの分類基準

位相的形状 安全性: 例外ループ禁止〈安全〉 vs. 例外ループ許容 連結性: 連結性要求〈連結〉 vs. 連結性不問 修飾 色: 色無し vs. 色付き 極性: 無極 vs. 有極〈偏極〉 向き: 有向 vs. 無向 形容詞短縮形: safe conn $`\mathfrak{C}`$-color polar dir

原圏〈urcategory〉

モジュラーオペラッドを原圏〈urcategory | 原始圏 | ウル圏〉と呼ぶ。ウル〈ur-〉の意味は、https://www.etymonline.com/jp/word/ur- 「原始的な、初期の」という意味の接頭辞で、ドイツ語の「ur-」から派生しました。 ドイツ語の元々の意味は「外側、原始…

米田/淡中

米田埋め込み的なもの 米田単元埋め込み $`a \mapsto \{a\}`$ 米田クロネッカー・デルタ $`a\mapsto \delta^a`$ 米田CPS変換 $`f \mapsto f^*`$ 米田ケーリー表現/米田ケーリー加群 米田エルブラン・モデル 淡中埋め込み的なもの 淡中単項フィルター 淡中ゲ…

モノイド指標と代数装備圏

モノイド指標 Σ Σの圏Cでの付値モデル〈valuation model〉をΣ-代数と呼ぶ。Σ-Alg(C) := MonSIG(Σ, UC) ある種の忘却関手 MonCAT → MonSIG が必要。 モノイド指標はコンピュータッドの一種 Σ-代数装備は、圏Cの対象の弱モノイドからΣ-Alg(C)の対象の弱モノイ…

前層と米田の補題の事例

ファミリーの圏 $`{\bf Fam}[A]`$ は前層圏 順序集合に対するフィルター付き集合 $`\mathrm{FilteredSet}(A)`$ は前層圏 シェープ付き集合の圏 単体集合の圏: $`s{\bf Set}`$ 球体集合の圏: $`g{\bf Set}`$ 方体集合の圏: $`c{\bf Set}`$ 有向グラフの圏 …

随伴系の2-指標

テキスト版: ペースティング図版: ストリング図版:

順序とモナド

「圏論 vs 順序論」の対応表が意外に抜けているので再作成。 順序 圏論 順序集合 圏 自己単調関数 自己関手 閉包作用素 モナド 自己単調関数のプレ不動点〈減少点〉 自己関手の代数 自己単調関数のポスト不動点〈増大点〉 自己関手の余代数 自己単調関数の最…

旧メモからコピー:圏論的オペレーター/コンビネータ

https://m-hiyama-memo.hatenablog.jp/entry/20171209/1512807104 からコピー 用語法、表記法 オペレーター | オペレータ | 演算子 | 作用素 | コンビネータ | コンビネーター コンストラクタ | コンストラクター | 構成子 | 構築子 | 生成子 例 トレースオ…

レンズ/オプティックの描画法

いずれの描画法でも、平面を順方向エリアと逆方向エリアに区切っている。この区切り線を中心線と呼ぶことにする。代表的な3つの描画法を述べる。もちろん、他の選択肢もある。描画の約束によりファントム交差/ファントムカーブは生じる。相互変換には鏡映変…

トレース付き圏と両側テレオロジー圏

トレース付きモノイド圏の新しい定義 圏論的レンズ 4: テレオロジー圏 トレース付き圏の公理を次のように名付ける。 バニシング バンドリング (通常はバニシング 2) タイトニング スライディング ヤンキング スーパーポージング テレオロジー圏のトートロ…

コンテナの図法とメンタルモデル

コンテナをアリーナ=カローラ・フォレストで図示するとして: ツリーをグラフと見るとき、通常グラフ解釈かオープングラフ解釈か? リーフをどう描くか? ドット、アロー、ワイヤー ルートをどう描くか? ドット、アロー、ワイヤー ツリーとルートを別物と…

圏論 vs 順序論

大きかも知れない圏の2-圏 順序集合の圏 余完備な余デカルト圏 順序完備なミート半束 余連続な自己関手 連続な自己関数 自然変換 関数順序 自己関手のランベック代数 自己単調関数の劣不動点 モナド 閉包作用素 モナドのアイレンベルク/ムーア代数 閉包作用…

レンズ用語

困っている。 何がプレーンレンズ〈バニラレンズ〉か分からない。 元祖レンズの有法則/無法則は、まーハッキリしている。 単相レンズ〈monomorphic lens〉と双相レンズ〈ニ相レンズ | bimorphic lens〉の区別はあるが、一般的とも言えない。ヘッジーズ〈Hea…

唯一射と対角射

終対象への唯一射や、単位対象への構造射 delete morphism descarder eraser discharger terminal morphism vanishing morphism bang garbage morphism(gs圏のこじつけ) counit もう一方の射は、 comultiplication duplicator copy morphism diagonal morp…

圏論 vs プログラミング 対応表

圏論 プログラミング 対象 型 射 関数、手続き、etc. (無名 1) 型構成子 関手 (無名 2) (無名 3) アドホック多相関数 自然変換 パラメトリック多相関数 備考: (無名 1) は、対象構成子または単に構成子〈コンストラクタ〉と呼べばよい。拡張スタイルのモナ…

ラックス単位律

ラックス単位律とは、ラックス・モノイド関手の左または右単位律。これの、ポイントフリー記述が結構難しい。左ラックス単位律の左辺を成分表示するが、上から下のストリング図で3つのパートに分ける。 ι ⊗ id_{F(X)} ν_{(J, X)} F(l_{X}) 反図式順にして: …

関係圏の構造

圏である。 2つのモノイド構造 $`\oplus, O, \otimes, I`$ 分配法則で半環圏 自己双対なコンペクト閉圏 $`\otimes, \triangleleft, \triangleright`$ さまざまなカリー化/反カリー化 $`-^\cap, {^\cap -}, {_\cup - }, {-_\cup}`$ 転置〈反転〉 終対象と始…

記述の圏と語彙構造

記述の圏と語彙文脈ツリー$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} } \newcommand{\u}[1]{\underline{#1} } \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1} } %`$語彙目録〈lexicon〉を対象として、記述〈description〉を射とする圏 を $`{\bf Desc}`$ とする。圏 $`{\bf De…

高次圏の原理

切り捨て原理 -- 切り捨てても圏 離散化原理 -- 離散化しても圏 モノイド原理 -- 対象が1つならモノイド ホム原理 -- ホムは次元が1下がる エンド原理(追加)-- n-圏のエンドシングはモノイド(n - 1)-圏になる 階層原理 -- 圏の次元とサイズランク 反転原理…

JSV論文

JS91 "The geometry of tensor calculus, I" → https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/000187089190003P JS93 André Joyal and Ross Street. “Braided tensor categories” → https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870883710…

指標、セオリー、モデル

記号=シンボル=文字=名前=ラベル 代入=割り当て 具体物=具体値=モデル=値 次の正規表現はすべて同じ意味 {記号 | シンボル | 文字 | 名前 | ラベル}に{具体物 | 具体値 | モデル | 値}を{代入する | 割り当てる} {記号 | シンボル | 文字 | 名前 | …

よく使うドクトリン

Dagg Mon Str Seq Sym Comp QMarkov Markov Cart digraph { rankdir=BT Plain[label=""] Dagg Mon Str Seq Sym Comp QMarkov Markov Cart Dagg -> Plain Mon -> Plain Str -> Mon Seq -> Str Sym -> Mon Comp -> Sym QMarkov -> Sym Markov -> QMarkov Cart …

coherence nLab

https://ncatlab.org/nlab/show/coherence+law https://ncatlab.org/nlab/show/coherence+theorem+for+monoidal+categories https://ncatlab.org/nlab/show/coherence+theorem https://ncatlab.org/nlab/show/coherence+theorem#ListOfTheorems https://ncat…

ファイバーバンドルとファイバー付き圏、エキストラセクション

次の図のSのようは関手を、Fに沿ったエキストラセクション〈extra section along F〉と呼ぶことにする。エキストラセクションの全体を とする。引き戻しファイバー付き圏との関係はファイバーバンドルの場合はに対して、エキストラセクションの空間は色々な…

ファイバーバンドルとファイバー付き圏、引き戻し公式

ファイバーバンドルとファイバー付き圏の類似性は思っていたよりずっと精密で本質的なようだ。$`\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\hyp}{ \text{-} } %`$ ファイバーバンドル ←→ ファイバー付き圏 底空間 ←→ 底圏 インデックス付き空間 ←→ …

依存型理論とファイバー付き圏

型カインドの定義は次にある。 https://m-hiyama.hatenablog.com/entry/2020/10/21/175259 これだと、単に「型の集合」だが、排他的型カインドという概念を入れないとまずいな。排他的型カインドと型ファミリー(型でインデックスされた型の族)をしっかり区…