確率推論〈Probabilistic Reasoning〉は論理っちゃ論理だが、古典論理などとはだいぶ違う。大きな違いは含意命題がないことだろう。含意の代わりに“条件付き命題”がある。いまここでは、「命題」という言葉を曖昧なままにしている、含意命題と条件付き命題の区別が付かないが、形式化すれば：
- 含意の論理結合子（記号は'⊃', '⇒'）はない。したがって、含意結合子を含む論理式〈formula〉はない。
- シーケントは構文的に存在する。シーケントも非形式的に“命題”と呼ぶならば、すべてのシーケントは条件付き命題と言える。
つまり、論理式のレベルでは含意はなく、シーケントがあり、シーケントは条件部〈仮定部〉を持つ。
論理式のデノテーションは述語で、デノテーション側の論理演算があるにはあるが、古典論理の法則が通用するとは限らない。つうか、あまり通用しない。
| 結合子 | 演算 |
|---|---|
| ∧ | min |
| ∨ | man |
| ¬ | 1 - (-) |
| ・ | 積 |
| + | 制限和 |
so-called ファジー論理になる。述語のなかで、{0, 1}の値を取るものをシャープ述語と呼ぶ。シャープ述語は部分集合の指定関数〈indicating function〉になる。シャープ述語は、白黒ハッキリしているのでシャープ、所属性に曖昧さはない。
- シャープ述語＝古典述語＝集合の指定関数≒集合＝事象＝σ代数の要素
台空間の一点に対応する述語を、
- シングルトン述語、一点述語、根本述語〈elementary predicate〉
「根本述語」は根本事象〈elementary event〉に合わせたが、elementaryが誤解されそうだ。また「原子述語」も構文的な意味で「原子述語記号」があるからマズイ。singleton, one-point がいいだろう。
台空間（可測空間）上の確率測度を状態と呼ぶ。これは、量子論からの言葉。確率状態とか量子状態とかを単に状態と呼ぶ。台空間の一点に対応する状態はシングルトン状態、一点状態。測度としてはディラック測度。
- シングルトン状態、一点状態、{ディラック | デルタ }{確率}?{測度 | 分布}
一点ではない状態は、一点状態の重ね合わ状態。純粋／混合はこれとは別な概念のようだ（いや、同じか？）。シングルトン状態はシャープな状態とも呼ぶ。すると、シャープな状態／シャープな述語（述語はメンバーシップ密度関数）が古典論理・素朴集合論に対応する。
シャープな状態は広がってないが、シャープな述語は（ボンヤリはしないが）広がる。広がってない述語（一点述語）を適当な状態で評価するとメンバーシップ度（メンバーシップ密度の積分）がゼロになるかもしれない。状態にボンヤリさはないが、述語に広がりはある。広がってない述語＝シングルトン述語。広がってなくてもボンヤリかも知れない。シャープなシングルトン述語＝ボンヤリしない（決定的な）一点集合。
- {確率的}?状態： 存在位置が広がるかも知れない点。広がらないならシャープ。
- {ファジー}?述語： 所属性がボンヤリするかも知れない集合。ボンヤリしないならシャープ。
状態／述語の概念は素朴集合論を拡張する。
| 素朴集合論 | 状態／述語 |
|---|---|
| 要素、点 | 状態 |
| 部分集合 | 述語 |
| 所属関係 | 妥当性値 |
| 二値真偽値 | ファジー真偽値 |
状態αと述語pに対して、妥当性（の値）は次のように書く。
- α |= p
- p =| α
- <p | α>
- ∫p α(dx)
測度論的解釈は：
| 状態／述語 | 測度 |
|---|---|
| 状態 | 確率測度 |
| 述語 | メンバーシップ可測関数 |
| 妥当性値 | 確率測度による積分 |
| ファジー真偽値 | メンバーシップ値 |
最も重要なことは条件命題が構文的にはシーケントで表現されること。p → q をシーケントとして、その意味は状態αごとに定義される。
- 〚p → q〛α := (α|p |= q)
右辺に出現する α|p は、状態（測度）αのpによる条件付け〈conditioning〉。測度論的には、単に測度と関数を掛けたもの。
α|p は測度なので、事象Bに対する値で定義される。kは規格化因子。
- (α|p)(B) := k∫(χB)・p α(dx) = k∫B 1 (pα)(dx)
条件付けは、述語が状態に作用することを意味する。述語で条件付けられて、状態は別な状態に変形される。条件付き命題＝シーケント の評価・判断は、条件＝仮定＝前提により状態＝確率分布を変形してから評価・判断する。
物理的な比喩
状態は、質点とは限らない物質で、質量が1のもの。あるいは、正規化された物質。質量密度が正規化されているので、質量密度は存在密度になる。別に全質量スカラーがあれば、物質は回復できるから、「物質＝存在密度＋全質量」で良い。全質量は有限な物質しか考えない。
一方で、述語は領域と考える。領域もその存在密度で指定できるが、正規化はしない。正規化しないので、積分値としての体積を持つ。体積無限の領域も許す。
メンバーシップ度は、（正規化された）物質と領域に関して定義される値。物質が領域にどの程度含まれるかを、0から1の値で表したもの。ディラック測度としての質点や、体積がゼロの領域などがあるので、古典的メンバーシップとは様相が違ってくる。
この状況設定で、確率変数は、決定性の（非確率的）点変換を与える。台空間の点を台空間の点へと決定性に移す。非確率的な関数を「確率変数」と呼ぶのはジョークだと思うしかない。
| 標準的 | 物理的 | 確率論的 |
|---|---|---|
| 台空間 | 配位空間 | (色々) |
| 点 | 位置 | (色々) |
| 状態 | 物質 | 確率分布 |
| 述語 | ファジー領域 | (なし) |
| シャープ状態 | 質点 | ディラック測度 |
| シャープ述語 | シャープ領域 | 事象 |
| 妥当性値 | 物質の領域上での積分 | 条件付き期待値 |
| 決定性写像 | 点変換 | 確率変数 |
| 確率写像 | 拡散 | 条件付き確率 |
配位空間は解析力学の configuration space で、配位＝coordination ではない。
物理的にも珍しいのはファジー領域とシャープ領域の区別だろう。規格化された物質の領域上での積分は、その物質がその領域にどの程度含まれているかの値だが、領域側がファジーである状況を考える。
標準用語法での状態の全体はジリィモナドになる。よって、物理用語での規格化物質の全体もジリィモナドになる。規格化されてない物質は、質量付きジリィモナド＝有限分布モナドになる。物質モナド＝質量付きジリィモナド＝有限分布モナド。
