伝統的テンソル計算技法の背景

古典的微分幾何・ベクトル解析のモダン化： ダイレクトインデックス記法 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)とかでモダン化をやってみたのだが、添字の技法をちゃんと定式化するには、添字集合の集合の性質が必要。

ℬを集合の集合（族）とする。ℬは空集合を含まないとする。ℬはベース族のつもり。次のようにしてℐを構成する。

1. A∈ℬ に対して、A^- = {a^- | a∈A} として、A^- を作り、ℬ^- = {A^- | A∈ℬ} とする。A∩A^- = ∅ とする。
2. ℐ = ℬ^± = ℬ∪{∅}∪ℬ^- を作る。

ℐ上に次の構造を与える。

• S:ℐ→ℐ, A∈ℬ ならば S(A) := A^-, A∈ℬ^- ならば、S(A^-) = A, S(∅) = ∅
• X∈ℐ に対して、σ_X:X→S(X) を、AとA^-のあいだの自然な同型写像として定義する。

すると：

1. Sはinvolution SS(X) = X
2. Sの不動点は∅だけ。S(X) = X ⇔ X = ∅
3. X∩S(X) = ∅

ℐ_× = ℐ＼{∅} とする。ℐ_×^*（クリーネスター）の要素をタイプと呼ぶ。タイプは、集合のリストなので、(A₁, ..., A_n) と書ける。

タイプの極性〈polarity〉、または変性〈variance〉を次のように決める。

1. A∈ℬ ならば、p(A) = "+" （+は反変）
2. A∈ℬ ならば、p(A^-) = "-" （-は共変）
3. p(∅) = ""
4. あとは連接で決める。p(A)∈{+, -}^*

今定義したタイプの集合 ℐ_×^* を使って、テンソル代数とテンソル圏を構成する。

まず、Vをベクトル空間として、Vのテンソル代数を構成する。タイプ A∈(ℐ_×)^* ごとに、ベクトル空間 T_A(V) を定義して、すべてのAに渡って直和をとる。最初に、Vからℐを作る必要がある。

B⊆V をVの基底集合とする。Vがゼロ空間でないなら、B ≠ ∅ なので、{B} はベース族となる。このベース族から、ℐ = {B, ∅, B^-} を作る。ℐ＼{∅} = {B, B^-}, (ℐ＼{∅})^* = {B, B^-}^*。

任意のタイプは、BとB^-を並べたリストになる。次のようにベクトル空間を定義できる。

1. T_∅(V) = R
2. T_B(V) = V
3. T_B^-(V) = V^*
4. T_{(A1, ..., An)}(V) = T_A1(V)⊗...⊗T_An(V) （テンソル積）

\( {\mathscr T}\) をタイプの集合として、
\(
\sum_{A\in {\mathscr T}} T_{A}(V)
\)
を、Vのテンソル空間とする。テンソル空間に積も入れることができる。特定のタイプAの部分空間の要素を型Aのテンソルと呼ぶ。特定の変性のテンソルも定義できる。

ひとつの空間Vではなくて、複数の空間の族から生成することも出来る。それは次の機会に。