高校レベル微積分 問題

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注意事項：

1. 特に断りがなければ、関数は一変数（実数）で実数値をとるものとする。
2. 関数uは次のように定義される： u(x) = if (x < 0) 0 else 1

問題：

1. [計算] 次の関数の微分（導関数）を求めよ。
   1. \( x \sin(x) \)
   2. \( \cos(2\theta) \)
   3. \( \cos^2 x \)
   4. \( e^{3t} \)
   5. \( \frac{1}{2}e^{\frac{1}{x}} \)
   6. \( Ae^{\frac{1}{x^2}} \) （Aは定数）
2. [計算] 次の積分を求めよ。
   1. \( \int_{-\pi}^{\pi} \cos t\, dt \)
   2. \( \int_{0}^{2\pi} \cos(2x) \, dx \)
   3. \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \,dt \)
   4. \( \int_{-\infty}^{+\infty} u(x)u(1 - x) \,dx \)
   5. \( \int_{-\infty}^{+\infty} u(t)u(x - t) \,dt \)
   6. \( \int_{-1}^{1}x u(x) \,dx \)
   7. \( \int_{0}^{x} e^{-st}\,dt \)