いまいちハッキリとはわからないのだけど、微分計算〈differential calculus〉に、アーベル的と非アーベル的がありそう。微分は基本的に線形性に依拠しているから、アーベル的微分が主流だけど、一部に非アーベル的微分が入るようだ。
- アーベル的＝可換的＝加法的
- 非アーベル的＝非可換的＝乗法的
| アーベル的 | 非アーベル的 | |
| 値の系 | 可換環 | 群(非可換OK) |
| 関数 | 可換環値関数 | 群値関数 |
| 微分 | 普通の微分 | 対数微分 |
| 微分法則 | ライプニッツ | モーレー／カルタン |
| 積分 | 普通の線積分 | 乗法線積分 |
| バンドル | ベクトルバンドル | 主バンドル |
| 層 | ベクトル層 | 主層 |
| コチェーン | 加法的コチェーン | 乗法的コチェーン |
微分操作の中心となる、対数微分〈モーレー／カルタン微分〉と、乗法線積分の議論が必要。ここさえ、分かってない。
[追記]分かっていること：
- (f - g) がKの定数である ⇔ df = dg
- fg-1 がGの定数である ⇔ ∂f = ∂g
つまり、
- Kの（局所）定数 ←→ Gの（局所）定数
という対応があり、
- K-可換環層 ←→ G-（非可換）群層
という対応もあり、次のような微分系列がある。
アーベル的微分系列と非アーベル的部分系列が連携〈copuling〉させて、ナニカを作り、そのナニカの上で共変微分系列、対数共変微分系列が定義可能になるのだと思う。
[/追記]
