微分の代数的構造 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

代数的な導分〈derivation〉と解析的な微分の関係。

「微分する＝テーラー展開する」だ。n階（n回）までの微分の情報は、n次までのテーラー展開に完全に含まれる。だから、オラクル〈神託〉でテーラー展開がもらえれば、それはもう微分できたことになる。

問題は、テーラー展開の残余項だ。残余については、フレシェ微分の観点から線形近似としての微分係数：フレシェ微分 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) で説明している。残余はスモールオー関数であり、スモールオー関数は絶対値と極限で定義された。

代数的な観点では、絶対値（大小／遠近評価）と極限をそのまま使うのはうまくない。環や（環上の）加群の言葉で残余項を表現したい。結論を言えば、評価射の核イデアルの二乗（平方）を残余の集合として取る。イデアルの二乗がイデアルとは限らないから、残余集合は“非イデアル”な集合となる（かもしれない）。

内容：

追記：注意
導分の一般論
ユークリッド空間でのなめらかな関数
導分の偏微分係数による表示
記法
感想

追記：注意

修正が面倒だから、最初に注意として書いておく。

以下の、評価射εの核イデアルJの二乗JJは、ΣJJ と書いたほうがいい。ΣJJ の定義は、

f∈ΣJJ :⇔ 有限個の g_i, h_i∈J があって、f = Σ_ig_ih_i と書ける。

ΣJJは、集合JJから作られる加法群になっている。R-ベクトル空間でもある。

もっと限定的に、

有限個の g_i∈J があって、f = Σ_ig_ix_i と書ける。

でもいい、x_iは射影πⁱのこと。つまり、fは、標準射影達からJ係数で張った空間。ベクトル空間ではあるが、Jが環ではないので、J-加群とは言えない？いや、一応かけ算で閉じているから部分環か。イデアルではあるけど、部分環でもある。J加群かつC^∞(U)のイデアル。ΣJJをJの二乗イデアル（平方イデアル）と読んでもいいかも知れない。

ともかく、JJではなくてΣJJで考える。

導分の一般論

Kを体、AをK上の可換環（以下、単に環）とする。MはA-加群とするが、両側加群とみなして、Aによる左右乗法は一致する a・m = m・a とする。導分の集合は次のように定義する。

X∈Der_K(A, M) :⇔ X:A→M はK-線形なライプニッツ射

この定義ですべてではあるが、便宜上、Der_K^ε(A, M) も定義しておく。ただし、

Bは環で、ε:A→B はK-線形な環準同型射
MはB-加群

このとき、

X∈Der_K^ε(A, M) :⇔ X:A→M はK-線形なε-ライプニッツ射

ε-ライプニッツ法則は、

X(ab) = X(a)・ε(b) + ε(a)・X(b)

εによりMはA加群とみなせる。a∈A によるスカラー乗法は、a*m := ε(a)・m 、これを使えばε-ライプニッツ法則は、

X(ab) = X(a)*b + a*X(b)

となり、通常のライプニッツ法則。つまり、

Der_K^ε(A, M) = Der_K(A, ε^*M)

ここで、ε^*M は、B-加群Mの係数環をAに（εで）変更したA-加群。

ε:A→B は任意の環準同型射を使えるが、後で出てくる特殊な例を考慮して、評価射と呼ぶ。

[追記]κが一点でのほんとの評価写像で、M = R as R-加群であるときの導分を特に点導分〈point-derivation〉と呼ぶ。[/追記]

ユークリッド空間でのなめらかな関数

A = C^∞(U), B = R の状況を考える。ここで、

UはRⁿの開集合で、0∈U
ε:C^∞(U)→R は、f $\mapsto$ f(0)

X∈Der_R^ε(C^∞(U), R) であるとき、Xは、通常の偏微分係数のR-線形結合で書けることを示す。

微積分の知識から、C^∞(U) が次の分解を持つことは分かる。

C^∞(U) $\stackrel{\sim}{=}$ 1R $\oplus$ L $\oplus$ R

ここで：

1R は、C^∞(U) の単位元1の実定数倍である関数の全体からなる1次元ベクトル空間。
Lは、射影関数 π_i:Rⁿ⊇U→R 達から生成されるn次元自由ベクトル空間 L = R[π₁, ..., π_n] 。
Rは残余＝スモールオー関数からなる無限次元ベクトル空間。

1R $\oplus$ L は、(1 + n)次元ベクトル空間で、アフィン線形関数からなる空間で、標準基底 {1, π₁, ..., π_n} を持つ。残余関数の空間Rは、アフィン線形関数の空間の補ベクトル空間になる。

ベクトル空間Rは、絶対値／不等号／極限で定義されるので、代数的に扱えない。ここで使うトリックは、

R ⊆ JJ （残余の因数分解定理）

Jは、評価射εの核イデアルである。

J := Ker(ε) ⊆ C^∞(U)

JJは、Jに入る関数2つの積で書ける関数の全体を表す。

1R∩JJ = {0}
L∩JJ = {0}

を示せれば、R = JJ となり、次の分解が得られる。

C^∞(U) $\stackrel{\sim}{=}$ 1R $\oplus$ L $\oplus$ JJ

ここらは、微積分の細かい議論をするしかない。この分解が得られたとして、代数的フレシェ／テイラー分解〈algebraic Fréchet-Taylor decomposition〉と呼ぶことにする。

導分の偏微分係数による表示

Rベクトル空間・可換環であるC^∞(U)の代数的フレシェ・テイラー分解と、それに対応する1次のテイラー展開 f = a₀1 + Σa_iπ_i + g₁g₂ があるならば、次の定理は単なる計算で示せる。

X∈Der_R^ε(C^∞, R) に対して、実数 ξ₁, ..., ξ_n があり、次のように書ける。

$X = \sum_{i=0}^n \xi_i (\frac{\partial}{\partial x_i}|_0)$

さらに、

$\xi_i = X(\pi_i)$

よって、

$X = \sum_{i=0}^n X(\pi_i) (\frac{\partial}{\partial x_i}|_0)$

これを導くとき、次を使う。

X(1) = 0
g = g₁g₂ ∈JJ ならば、X(g) = 0

代数的テイラー展開 f = a₀1 + Σa_iπ_i + g₁g₁ にXを作用させると、

X(f) = 0 + Σa_iX(π_i) + 0

となるので、

X(f) = Σξ_ia_i

これに、 $a_i = (\frac{\partial}{\partial x_i}|_0)f = \frac{\partial f}{\partial x_i}(0)$ を代入すればよい。

記法

射影の番号を上に書いて πⁱ とする。偏微分作用素 $\frac{\partial }{\partial x_i}$ を ∂_i と下付きの番号で書く。変数xはなくなる。

この記法で書くと：

$X = \sum_{i=1}^n \xi^i \partial_i $
$ X = \sum_{i=1}^n X(\pi^i) \partial_i $
$ X = \sum_{i=1}^n d\pi^i(X) \partial_i $
$ X = \sum_{i=1}^n D_X( \pi^i ) \partial_i $

感想

キモは、可換環の代数的フレシェ／テイラー分解。代数的と言えるのは、絶対値／不等号／極限を排除して、評価射の核イデアルJを利用して R = JJ と書けていること。

一点での導分が（評価付き）偏微分作用素の実線形結合で書けることから、

Der_R^ε(C^∞(U), R) $\stackrel{\sim}{=}$ Rⁿ

が、標準フレーム付きで言える（同型は標準的である）。これで、ユークリッド空間での局所理論が出来たから、それを使って多様体での一点の近傍Uにおいて：

Der_R^ε(C^∞(U), R) $\stackrel{\sim}{=}$ T_aM

が示せる。

イデアルの累乗を残余空間にするフレシェ／テイラー分解を、もっと徹底的に使えないのかな？圏全体に代数的微分を適用できないか？