型の縦階層と横階層

型階層を考える上で、型を分類する必要がある。

• 型と種
• 無構造型（集合）と構造付き型
• 単純型〈基本型 | 組み込み型〉と複合型〈構成型 | 複雑型〉
• 全域型と部分型〈制約型〉

型と種は縦階層。縦階層は、オブジェクトレベル、メタレベル、メタメタレベルのような階層で、タワー、ラダーなどと呼ぶ。異なるレベルをプレーンやレイヤーで識別する。階層グラフの辺はレイヤー間を必ずまたぐ。

横階層は、同一のプレーン／レイヤー内でのツリー構造やグラフ構造のこと。階層グラフは同一レイヤーにあるので、レイヤーをまたぐ辺はない。

グラフ形状が同じでも：

縦階層のグラフ（Nは自然数、Rは実数）

 モノイド圏の2圏
 ｜
 モノイドの圏
／＼
N　R

縦階層のグラフ

 モノイドの圏
 ｜
 N
／＼
1　3

横階層のグラフ（Cは複素数、2Zは偶数）

 C
 ｜
 R
／＼
N　2Z

横階層の場合でも、階層グラフの辺が何で与えられるか？が違う。

1. 台集合の埋め込み写像で与えられる。部分型と全域型。
2. 台集合の射影写像で与えられる。構造付き型の構造を忘れる。

これ以外の階層はうまくいかないことがあるし、この二種を混合するのはマズい。

階層の例：

1. 図形クラスのクラス階層：点クラス、色付き点クラス、折れ線クラス、多辺形クラス
2. 数系の包含階層：N⊆Z⊆Q⊆R
3. 代数系の構造的階層：群、モノイド、半群、マグマ

階層グラフの辺の実体：

1. 状態空間の射影写像
2. 台集合の埋め込み写像〈包含写像〉
3. 圏の忘却関手 ≒ 指標の埋め込み写像

階層構造を理解するとは、その階層グラフが世界のなかで、どのような形で配置されているかを正確に知ること。また、階層グラフの頂点と辺の実体が何であるかも正確に知ること。