(新) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

{スカウテン | スハウテン}宣言

気付いた幾何っぽいその他代数

ダイレクトインデキシングを使うときは、

index i, j, k∈I basis-of A
index a, b∈J basis-of B

このインデックス宣言〈{スカウテン | スハウテン}宣言〉のもとで、x^i,j_a,k,b と書くと、テンソルxの型は、添字を下から上に読んで

B,A,B → A, A

だとわかる。書き方を変えると

A,A / B,A,B

これらの意味は：

x:B $\otimes$ A $\otimes$ B→A $\otimes$ A 射解釈
x∈[B $\otimes$ A $\otimes$ B, A $\otimes$ A] 内部ホム解釈
x∈(A $\otimes$ A) $\otimes$ (B^* $\otimes$ A^* $\otimes$ B^*) 標準解釈
他にネルソン解釈がある。

インダイレクトインデキシングのときは、

index i, j, k∈I frame F of A
index a, b∈J frame G of B

微分幾何の例では、

index i, j, k∈1..n frame ∂x of V
index a, b∈1..n frame (∂x)^◇ of W（W = V^*）

◇は、コンパニオンコフレームを対応させる写像。これにより次が意味を持つ。

${}_{\partial x} [{}^i] ,\: {}_{\partial x} [{}_i]$

フレームとコフレームがコンパニオン関係であることから

${}_{\partial x} [{}^i] = {}_{({\partial x})^\diamond} [{}_i] = dx^i$

宣言は次がいいかも。

index i, j, k in I is-basis-of A
index i, j, k in I via F is-frame-of A

中間を省略すると

index i, j, k in basis-of A
index i, j, k in I via frame-of A
index i, j, k in frame-of A

{スカウテン | スハウテン}記法は、添字で座標を識別するが、座標とフレームはほぼ同じ。フレームごとに添字を予約するのはスハウテン流。