マリオス幾何 メモ 2

メモ 幾何っぽい

全般的な話。

マリオスは、次の記法・定義を使っている
\mbox{Let }d^0 := \partial\\ \mbox{Assume }d^1 :\Omega^1 \to \Omega^2 := \Omega^1 \wedge_{\mathcal{A}} \Omega^1 \\ \mbox{Assume For }\alpha\in \mathcal{A}, s \in \Omega^1\\ d^1(\alpha\cdot s) = \partial(\alpha)\wedge s + \alpha\cdot d^1(s) \\ = d^1(\alpha)\wedge s + \alpha\cdot d^1(s) \\

これは、
\xymatrix { \mathcal{A} = \Omega^0 \ar[r]^-{\partial = d^0} & {\Omega^1} \ar[r]^-{d^1} & {\Omega^1 \wedge_{\Omega^0} \Omega^1 = \Omega^2} }
が2次DG環なこと。

ここで、k次DG環とは、kより大きい次数がすべて0であるDG環〈可換DG代数〉。0次DG環は単なる環〈可換環〉、X上の1次DG環層はマリオスの微分三つ組〈differential triad〉。X上の2次DG環層を、マリオスは曲率構造／曲率空間と呼んでいる。そして、X上の3次DG環層はビアンキ空間と呼んでいる。ビアンキ恒等式の記述にはビアンキ空間＝3次DG環層が必要。

マリオスのやり方は、一度にド・ラームDG環を与えるのではなくて、必要なだけのkに対して、k次DG環を考える。

\mathcal{A}-加群層\mathcal{E}に対して、導分 D = D^0: \mathcal{E} \to \mathcal{E}\otimes_{\mathcal{A}} \Omega^1 を\mathcal{A}-接続または0次の共変微分と呼ぶ。

1次の共変外微分D^1: \mathcal{E}\otimes \Omega^1 \to \mathcal{E}\otimes \Omega^2 を定義する。

D^1(s\otimes \tau) := D(s)\otimes \tau + s\wedge d(\tau) \\ R := D^1\circ D^0 : \mathcal{E} \to \mathcal{E} \otimes \Omega^2

ベクトル層のときは、 R\in \mathcal{A}\mbox{-}{\bf Mod}(\mathcal{E}, \mathcal{E}\otimes \Omega^2) \cong \mathcal{End}(\mathcal{E})

Q-代数への布石として、DG環とベクトル層からエンドDG環を作る。

(\mathcal{End}(\mathcal{E}))^0 := \mathcal{End}(\mathcal{E}) \\ (\mathcal{End}(\mathcal{E}))^1 := \mathcal{End}(\mathcal{E})\otimes \Omega^1 \\ (\mathcal{End}(\mathcal{E}))^2 := \mathcal{End}(\mathcal{E})\otimes \Omega^2 \\ D^0: (\mathcal{End}(\mathcal{E}))^0 \to (\mathcal{End}(\mathcal{E}))^1 \\ D^1: (\mathcal{End}(\mathcal{E}))^1 \to (\mathcal{End}(\mathcal{E}))^2

R = DD が決まるわけだけど、これを2次元とするQ-多元環を作る必要がある。

マリオス幾何 メモ 1

メモ 幾何っぽい

マリオス幾何に関してメモしていく。

  1. ヴァシリウの論文、誤字が多い。困る。
  2. 係数体は複素数体。
  3. (X, \mathcal{A})： 環付き空間＝代数化空間。基礎体は複素数体。
  4. スカラー層 \mathcal{A}： 代数化空間＝環付き空間の構造層。可換・結合的・単位的な環の層。
  5. スカラー層の積はピリオド使っている。マリオスはドット。
  6. ベクトル層 \mathcal{E}： 環付き空間〈代数化空間〉上の加群層（係数環は環付き空間の構造層）であって、局所自由かつ有限階数かつ階数一定。
  7. rk \mathcal{E} はランクのこと、分かりにくいなー。
  8. 直線層： 階数1のベクトル層。スカラー層とは限らない。
  9. 可逆スカラー層 \mathcal{A}^\bullet： 逆元を持つスカラーの層。乗法に関して群層になる。\mathcal{A}_\times が良いと思う。一般に、多元環層の可逆元の群層をよく使う。
  10. 行列群層 \mathcal{GL}(n, \mathcal{A})： 構造層である環層を係数とする正則行列からなる群層。
  11. (\mathcal{A}, \partial, \Omega^1)：微分三つ組〈diffrentical triad〉。\partial は導分＝ライプニッツ射。
  12. 対数導分〈対数微分〉\tilde{\partial}： \tilde{\partial}(s) := s^{-1}\partial(s) \mbox{ for }s\in \mathcal{A}^\bullet
  13. 対数微分は積を和にする \tilde{\partial}(st) = \tilde{\partial}(s) + \tilde{\partial}(t)
  14. 行列多元環〈matrix algebra〉層 \mathcal{M}_n(\mathcal{A})： スカラー層を係数とする正方行列の行列多元環の層。僕は Mat[\mathcal{A}](n, n) と書く。
  15. 層ではない行列多元環 M_n(A)： \mathcal{M}_n(\mathcal{A})(U) \cong M_n(\mathcal{A}(U)) が成立。
  16. ちょっと記号の乱用ぎみだが \mathcal{M}_n(\Omega^1)： 実際は、\mathcal{M}_n(\mathcal{A})\otimes_{\mathcal{A}} \Omega^1 \cong (\Omega^1)^{n\times n}
  17. 行列の微分： \partial_{mat}:\mathcal{M}_n(\mathcal{A}) \to \mathcal{M}_n(\Omega^1) は \mathcal{M}_n(\Omega^1) \cong \mathcal{M}_n(\Omega^1) を利用して成分ごとに定義する。\partial_{mat} は単に \partial と書く。マリオスは \bar{\partial} := M_n(\partial) と書いている。微分の正方行列拡張〈square matrix extension〉という。
  18. マリオスは、(M_n(\mathcal{A}), M_n(\partial), M_n(\Omega^1)) を微分三つ組の正方行列拡張と言っている。あきらかに非可換だが、微分三つ組に可換性は要求してないようだ。
  19. ベクトル層{の}?接続＝\mathcal{A}接続：ベクトル層に対するコジュール接続のこと。加群層のコジュール接続はベクトル層に限定はしない。

チェック亜群とチェック単体多様体

U:A → Open(M) を被覆だとする。添字集合がAが重要で、開集合の集合だと考えてはダメだ。

Uから作ったチェック亜群を ChG(U) する。

  • 対象： |ChG(U)| := {(x, a)∈M×A | x∈Ua}
  • 射： Mor(ChG(U)) := {(x, a, b)∈M×A×A | x∈Ua∩Ub}
  • dom, cod： dom(​(x, a, b)) = a, dom(​(x, a, b)) = b
  • 恒等射 id： id(​(x, a)) := (x, a, a)
  • 結合 ; ： (x, a, b);(x, b, c) := (x, a, c) :(x, a) → (x, b)
  • 逆： (x, a, b)-1 := (x, b, a)

ChG(U) は可逆な射を持つ圏。圏のナーブ構成 N(C) をチェック亜群に適用すると N(ChG(U)) はチェック復体＝チェック単体集合となるだろう、たぶん。C 上に関手を考えると、関手係数の復体〈余復体〉を作れる。

単体集合なだけではなくて、単体空間あるいは単体多様体になる。|ChG(U)| も、M上の開集合を直和で寄せ集めた空間になり。|ChG(U)| → M という標準的な添加〈argumentation〉 がある。

\xymatrix { {\cdots} \ar@{}[r]|{\vdots} \ar@<0.9em>[r] \ar@<-0.9em>[r] & *!<-2em, 0em>{|ChG(U)|_2} \ar[r] \ar@<0.7em>[r] \ar@<-0.7em>[r] & {|ChG(U)|_1} \ar@<0.5em>[r] \ar@<-0.5em>[r] \ar@<0.4em>[l] \ar@<-0.4em>[l] & {|ChG(U)|_0} \ar[l] \ar[r] & {M} }

添加付きの〈augmented〉な単体多様体で、係数関手を付けて余鎖腹体ができる。たぶん。

カルタン／ヴェイユの恒等式

メモ 幾何っぽい

リー微分、外微分、内微分の関係は 微分インフラとはカルタン微分計算系 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) カルタン微分計算系はいいぞ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) に書いた。

  1. d\circ d = 0
  2. d\circ L_X - L_X \circ d = 0
  3. d\circ i_X - i_X \circ d = L_X （マジック公式）
  4. L_X \circ L_Y - L_Y \circ L_X = L_{[X, Y]}
  5. L_X \circ i_Y - i_Y \circ L_X = i_{[X, Y]}
  6. i_X \circ i_Y + i_Y \circ i_X = 0
  1. [d, i_X ] = L_X （上記 3 マジック公式）
  2. [L_X, L_Y] = L_{[X, Y]} (上記 4)
  3. [L_X, i_Y] = i_{[X, Y]} (上記 5)
  4. [i_X, i_Y] = 0 （上記 6）

別なところでは、ヴェイユ〈Weil〉の等式〈identities〉とあった。

  1. [i_X, i_Y] = 0
  2. [L_X, i_Y] = i_{[X, Y]}
  3. [L_X, L_Y] = L_{[X, Y]}
  4. [d, i_X] = L_X （マジック公式）
  5. [d, L_X] = 0
  6. d^2 = 0

番号はどうでもいいとして、

http://www.chimaira.org/img5/cartan-relations.png

外微分の定義は：

(df)(x_1, \cdots, x_{n+1}) := \sum_i x_i f(x_1, \cdots, \hat{x_i}, \cdots, x_{n+1}) + \\ \sum_{i \lt j} f([x_i, x_j], x_1, \cdots, \hat{x_i}, \cdots, \hat{x_j}, \cdots, x_{n+1})

他に、

  1. \rho_a \circ L_X \circ {\rho_a}^{-1} = L_{\mathrm{Ad}_a} X
  2. \rho_a \circ i_X \circ {\rho_a}^{-1} = i_{\mathrm{Ad}_a} X

モナドの参考文献集（過去に既出）

メモ リンク 本編ネタ

モナド達の上のモナド： ストリート・モナド

モナド論をヒントに圏論をする（弱2-圏の割と詳しい説明付き）

https://m-hiyama.hatenablog.com/entry/20170111/1484122584

最近のモナド論の概観と注意事項 1/2

https://m-hiyama.hatenablog.com/entry/20181226/1545810581




最近のモナド論の概観と注意事項 2/2

https://m-hiyama.hatenablog.com/entry/20190108/1546939110

さまざまなモナド類似物とベックの分配法則

https://m-hiyama.hatenablog.com/entry/2019/01/29/090423

複合モナドから花輪積へ

https://m-hiyama.hatenablog.com/entry/2019/01/30/100636

モナド、双圏、変換手

https://m-hiyama.hatenablog.com/entry/2020/01/28/171033



「モナド、双圏、変換手」への補遺

https://m-hiyama.hatenablog.com/entry/2020/01/29/170558

モナド達の上のモナド： ストリート・モナド

https://m-hiyama.hatenablog.com/entry/2021/03/05/183124

証明テンプレート

Lean

Leanに限らず、どんな証明系でも定理ライブラリの構築は熱心。Leanだと自動化タクティクのライブラリも整備されるだろう。

だが、特定パターンの証明のやり方をガイダンスするテンプレートみたいなものはない。定型文書作成のテンプレートと同じで、穴埋めすると完全な証明が出来上がるようなヤツ。

現実の証明では、こういう証明テンプレートが暗黙に使われていると思うのだが。

許される略記と許されない略記

セミナー 確率統計 多義語 STEM
多プロファイル 成分・書字順 成分・反書字順 成分・カリー化
f: → X f(*, x) f(x | *) f()(x)
f: X → f(x, *) f(* | x) f(x)()
f: → X, Y f(*, (x, y)) f(x, y | *) f()(x, y)
f: X, Y → f(​(x, y), *) f(* | x, y) f(x, y)()
f: X → Y f(x, y) f(y | x) f(x)(y)
成分・書字順
正式 許される略記 許されない略記
f(*, x) f(x)
f(x, *) f(x)
f(* ,(x,y)) f(x, y)
f(​(x, y) ,*) f(x, y)
f(x, y)
成分・反書字順
正式 許される略記 許されない略記 書字順で許されない略記
f(x | *) f(x)
f(* | x) f(x) f(x)
f((x, y) | *) f(x, y) f(x, y)
f(* | x, y) f(x, y) f(x, y)
f(y | x)
成分・カリー化
正式 許される略記 許されない略記 書字順で許されない略記
f()(x) f(x)
f(x)() f(x) f(x)
f()(x, y) f(x, y) f(x, y)
f(x, y)() f(x, y) f(x, y)
f(x)(y)
方針
  • 反書字順のときだけ、右の'*'引数を省略できる。
  • その他の書き方では省略は一切しない。書字順の * 、カリー化の () も省略しない！
  • できるだけ、書字順、反書字順、カリー化の書式を混ぜないで、どれかで統一する。
測度と関数の混同

関数に集合を渡すことを許容する。

多プロファイル 許される書き方 備考
f: → X f(A) 確率測度
f: X → f(* | A) 確率ではない
f: → X, Y f(A, B), f(A×B) 確率測度
f: X, Y → f(*| A, B), f(*| A×B) 確率ではない
f: X → Y f(B | x), f(B | A) “条件付き確率”
f: X → Y f(B | A) “条件付き確率”の総和、確率ではない

語学的注意：

  1. 「確率」は、確率測度の値の意味が多い。
  2. f(A) は「Aの確率」＝「Aに対する確率測度の値」
  3. f(A, B) は「A, B の同時確率」＝「A×Bに対する確率測度の値」、「同時」に意味はない。
  4. f(B | x) は「一点での条件付き確率」
  5. f(B | A) = f(B | A)Λ(A) は「条件付き確率の総和」であって確率ではない。
  6. f(B | A)ω(A) は so-called「条件付き確率」、危険な書き方／言い方かも。

分布と述語の構造

セミナー 論理 確率統計

演算の可能性：

分布 述語
点ごとの掛け算 ☓ ◯
足し算 ☓ △部分的に可能
テンソル積 ◯ ◯
凸結合 ◯ ◯
max ☓ ◯
min ☓ ◯
1 -x ☓ ◯
ノルム 積分値＝定数1 最大値
移動 前送り 引き戻し
一点台 ディラック分布 一点述語

形容詞：

分布 述語
(形容詞なし) 分布＝確率分布 述語＝ファジー述語
保存的 分布＝保存的分布 述語＝保存的述語
非保存的 準分布＝非保存的分布 準述語＝非保存的分布
シャープ シャープ分布＝保存的シャープ分布＝点測度 シャープ述語＝保存的シャープ述語＝古典述語
シャープ準 シャープ準分布＝点またはゼロ測度 シャープ準述語＝部分古典述語
劣保存的 劣確率分布＝劣規格化分布 劣保存的述語
規格化 規格化分布＝分布 規格化述語

注意事項：

  1. 台〈サポート〉は、測度にも関数にも定義できる。
  2. シャープ性： ∀x∈X.( #(supp(f(x))) ≦ 1 )
  3. 保存性： ∀x∈X.( f(x)(Y) = 1 )
  4. 関数表示できるのは保存的述語＝述語 に限る。非保存的述語は関数表示できない。
  5. 定数で規格化できるのは、分布と述語に限る。一般のマルコフ核／準マルコフ核の規格化因子は定数ではなくて可測関数。
  6. マルコフ核と非決定性関数との関係は、ドバーカットのフリンジ〈fringe {relation | ND-function}?〉がある。フリンジは周辺の意味だが、どちらかというと Core だと思うが。

分布と述語

セミナー 用語法
  1. 無条件分布 ＝ 分布 ＝ (dom(ω) = 1 のマルコフ射)
  2. 条件付き分布 ＝ マルコフ射
  3. 分布＝法則 （同義語として）
  4. 条件付き法則 ＝ 条件付き法則
  5. 無条件法則 ＝ 無条件分布 ＝ 分布 ＝ 法則

言葉の使い方（語学）。

  1. 無条件分布は条件付き分布である。（包含関係として）
  2. 無条件分布は分布である。（同義語として）
  3. 条件付き分布は分布、とは言えない。（包含関係を否定している）
  4. 条件付き分布は分布ではない。（雑な言い方）

解釈と記法

論理 セミナー

「カラスである」の解釈

  1. 今目の前にいる鳥はカラスである。1 → 2 不確実・不正確な判断
  2. 鳥の個体の集合上のシャープ述語「カラスである」。Bird →! 2
  3. 鳥の種類の集合上のシャープ述語「カラスである」。BirdSpecies →! 2
  4. 鳥の個体の集合上のファジー述語「カラスである」。Bird → 2
  5. 鳥の種類の集合上のファジー述語「カラスである」。BirdSpecies → 2
  6. 「カラスである」と「カラスではない」からなる二値集合 \cong B
  7. 鳥の種類の集合上の個体数分布 頻度としての知見・知識
  8. 「カラスである」と「カラスではない」からなる二値集合上の個体数分布 頻度としての知見・知識

ウィルス検査装置の例も、ほんとの感染状況を誰が知っているか？ はフィクション。検査の正確さもフィクションになる。見間違う率もフィクション。

単一観測の不確実性・不正確性と、多数回観測の累積知識、将来の予測不可能における不定性は、いずれも分布か述語として定式化される。定式化自体には解釈が含まれない。

記法として：

  1. 述語は isA(-), IsA(-), Aである(-) など
  2. 二値真偽値集合は A? = {a+, a-} = {1, 0}

Sが二値真偽値集合のとき、S上の分布と述語を考えることが出来て、S上の分布と述語は区別しがたい。S = A? 上の述語が値をとる集合を A?? とすると、A?? の要素は「「Aである」がほんとである」と「「Aである」がほんとではない」の二元を持つ。

「私はウソを申しません」「これはホントの話」問題が現れる。

動物の論理の論理結合子と推論規則 命題の例

セミナー 論理
連言
  1. 述語のアダマール積（点ごとの積をアダマール積と呼ぶ）
  2. 事象〈可測集合〉の共通部分
  3. 事象〈可測集合〉の直積
  4. 述語のテンソル積
  5. 分布のテンソル積
  6. 述語のmin
含意
  1. 述語の制限差 \dot{-} と書く。
  2. 分布のテンソル積 ⊃ = \otimes とする。
推論規則

結合とその特殊形

   A → B B → C
  ------------ 結合＝カット
    A → C

   A → B B →
  ------------ 引き戻し
    A →

   → A  A → B
  ------------ 前送り＝モーダスポネンス
     → B

    → B B →
  ------------ 妥当性
      →

特有な推論法

    A → B
  -------- 含意導入＝同時化
   → A⊃B

    A → B
  ---------- 対偶＝ベイズ反転
  ￢B → ￢A

    → A  A →
  ----------- 更新
     → A
問題
  • カラスは黒い
  • バスケット選手は背が高い
  • 道が濡れている
  • 医学的判断

関数のたぐいと形容詞と語学

多義語 セミナー
論理的形容詞 測度 非負実数値関数 テンソル〈多行列〉
(無し) 準確率測度 準述語 準マルコフ・テンソル
規格化 確率測度 規格化述語＝単位述語 マルコフ・テンソル
劣規格化 劣確率測度 述語＝ファジー述語 劣マルコフ・テンソル
シャープ シャープ測度 古典述語＝シャープ述語 シャープ・マルコフ・テンソル
アトミック ディラック測度 一点述語＝根本事象 アトミック・シャープ・テンソル

形容詞「規格化」は normalized

  1. normal vctor と normalized vector は違う。
  2. unit vctor だと単位〈unit〉に引きずられる人がいる。
  3. 「正規ベクトル」とかにすると正規表現とのコンフリクト。
  4. 「正規化ベクトル」としたら、「何を正規化したのか？ もとのベクトルは？」と聞かれた。

概念的にも、測度の正規化は全空間の測度で割るが、準述語では最大値で割るので、正規化のやり方がまったく違う。