接続付きG-バンドルと亜群の表現

この話は、Gが離散群のときしかうまくいかないかも知れない。離散群のときは、基本亜群の表現が並行移動を与える。が、一般には、平行移動が簡略化されない。


接続付きG-バンドルを次の二つの表現に分解することができる。表現は関手のこと。

  • 底空間Bの基本亜群Π(B)のG-表現 μ:Π(B)→G
  • 構造群Gの多様体表現 ρ:G→Man

群Gを亜群とみたときの対象を'*'と書くと、ρ(*) = F が典型ファイバーとなる。

亜群のあいだの関手μは、適当な開被覆によりチェック1-コサイクル(によるコホモロジー類)で表現できる。

  • 基本亜群のG-表現 ←→ チェック1-コサイクル

チェック1-コサイクルからG-主バンドルが作れる。

  • チェック1-コサイクル ←→ G-主バンドル

次の三者が対応する。

  1. 接続付きG-主バンドル の同型類
  2. 基本亜群Π(B)のG-表現 の自然同値類(関手圏の同型類)
  3. G係数のチェック1-コサイクル のコホモロジー

接続が必要なのは、Π(X)の要素であるホモトピー類の代表元であるパスを全空間のパスに持ち上げる必要がある。持ち上げのために、水平方向の基準(水平空間の分布や、水平方向の流れ)が必要。常微分方程式のコーシー問題が解けること。

ファイバー次元が0のときは微積分とは関係ないが、被覆空間としての性質が接続と持ち上げを定義する。

  • モットー: 接続とはコーシー問題を局所一意可解性を与えるメカニズム