球体的n-マグマ

球体的n-マグマを使うアプローチは、次の状況で使う。

  • 構成的 v.s. 非構成的 →構成的
  • 組み合わせ的 v.s. 非組み合わせ的 →組み合わせ的
  • 形状 →球体
  • 次元の上限 →有限

マグマ演算〈magma operation〉=結合〈composition〉が定義されている。Xはn次元球体的集合とする。

  • 一般的マグマ演算 #k,ℓp、条件: k, ℓ, p は任意の自然数
  • 固有マグマ演算 #kp、条件:p < k, k ≦ n

一般的マグマ演算は、球体的集合Xを等式的延長〈equational prolongation〉して無限次元の球体的集合と考えて定義する。固有マグマ演算は、そのまま何もしないでよい。

  • 固有マグマ演算 #kp:Xk ×p Xk→Xk

ここで定義域となっている集合は

  • {(x,y)∈Xk×Xk | tk(p)(x) = sk(p)(y)}

この集合の条件を結合可能性〈composability〉という。結合可能性は、セルがp次元境界を共有すること。

セルの次元が違うときは、恒等格上げ〈identity promotion | bump-up〉を使って揃える。多くの一般的マグマ演算は等式に退化する。退化しないで残るのが固有マグマ演算。

球体的n-マグマに最初から備わるマグマ演算と、等式的延長による等式、退化したマグマ演算である等式、それと追加の割り当て〈assignment〉により指標を定義する。