等式的延長

等式的延長〈equational prolongation〉について述べる。

Xを集合として、Δ(X) をXの対角集合とする。Δ(X) X 。Δ^k(X) を次のように帰納的に定義する。

• Δ⁰ := X
• Δ^k+1 := {(x, y)∈Δ^k(X)×Δ^k(X) | x = y}

特に、

• Δ¹ := {(x, y)∈Δ⁰(X)×Δ⁰(X) | x = y} = Δ(X)

i_k:Δ^k+1(X)→Δ^k(X) を次のように定義する。

• i_k(x) := (x, x)

s_k, t_k:Δ^k(X)→Δ^k-1(X) を次のように定義する。

• s_k((x, x)) := x
• t_k((x, x)) := x

s_k, t_k, i_k （k ≧ 1）は、反射的球体的集合〈reflexiv globular set〉となる。s, t が面写像、iが退化写像となる。s, t, i は自明な写像となる。

Y = (Y_k, s^k, t^k, i^k | k = 0, 1, ...,n) が反射的球体的集合とする。このとき、X = Y_n とおくと、

• Y₀, ..., Y_n = X
• X = X₀, ...

という系列ができる。Y_{n + k} := X_k とおいて、長い系列 Y_・ を作ると、これは無限な反射的球体的集合となる。できた反射的球体的集合を、Yの等式的延長と呼ぶ。

以上により、nで終わる有限な反射的球体的集合は、無限な反射的球体的集合に延長できることがわかった。逆に、あるnから先で s^k, t^k, i_k がすべて同型になってしまう無限系列は、有限系列からの等式的延長とみなせる。

次は同値：

• Yは有限な反射的球体的集合
• Yは有限なnから先で、構造写像がすべて同型射になる。

マグマ演算も延長できるはずだから、次も同値。

• Yは有限な反射的球体的集合上のマグマである。
• Yは有限なnから先で、構造写像がすべて同型射になるマグマである。