一値論理=コンパクト論理 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 を敷衍。
行列 | 線形写像 | コンパクト論理 | ストリング図 |
---|---|---|---|
スカラー対象 | 真偽値「空」 | 無、点線 | |
スカラー射 | 矛盾シーケント | 無ワイヤーノード | |
対象 | 命題 | ワイヤー | |
複対象 | 命題リスト | ケーブル | |
単純行列 | 単純射 | 単純シーケント | 単純ノード |
複行列 | 複射 | 複シーケント | 複ノード |
多行列=行列 | 多射=射 | 多シーケント=シーケント | 多ノード=ノード |
クロネッカー積 | 射のテンソル積 | シーケントのマージ | ノードの横併置 |
縮約総和 | 縮約積 | シーケントのカット | ケーブル接続 |
射の結合 | フルカット | フル接続 | |
パートナー対象 | 命題の否定 | ストライクスルー | |
単位 | 一値排中律 | ベント | |
余単位 | 一値矛盾律 | コベント | |
パートナー対合 | 二重否定 | 二重ストライクスルー | |
双対射 | 待遇シーケント | ジグザグ、蛇行 | |
ポインター双対 | 背理法の原理 | ベンディング | |
フォーム双対 | 背理法の原理 | コベンディング |
ポインター双対を作る操作は、ゲルファント変換。ゲルファント変換は通常 V→V** と書かれるが、V* → (¬V)* とみなす。V* は、Vのポインター空間。
次は別物:
通常、次の同一視がされている。
線形代数 | 論理 |
---|---|
ベクトル空間(対象)とポインター空間(ホム空間) | 命題と右片側シーケント |
パートナー空間(対象)とフォーム空間(ホム空間) | 否定命題と左片側シーケント |
ポインター空間とコフォーム空間(パートナー空間のフォーム空間) | 右片側シーケントと左片側シーケント |
集合圏なら:
集合 | 論理 |
---|---|
集合空間(対象)とポインター集合(ホムセット) | 命題と右片側シーケント |
2指数集合(対象)と述語集合(ホムセット) | 否定命題と左片側シーケント |
ポインター集合と二階述語空間(指数空間の述語空間) | 右片側シーケントと左片側シーケント |
集合圏におけるゲルファント変換は、要素の評価汎関数になる。