マリオス幾何 メモ 1

マリオス幾何に関してメモしていく。

  1. ヴァシリウの論文、誤字が多い。困る。
  2. 係数体は複素数体
  3. (X, \mathcal{A}): 環付き空間=代数化空間。基礎体は複素数体
  4. スカラー\mathcal{A}: 代数化空間=環付き空間の構造層。可換・結合的・単位的な環の層。
  5. スカラー層の積はピリオド使っている。マリオスはドット。
  6. ベクトル層 \mathcal{E}: 環付き空間〈代数化空間〉上の加群層(係数環は環付き空間の構造層)であって、局所自由かつ有限階数かつ階数一定
  7. rk \mathcal{E} はランクのこと、分かりにくいなー。
  8. 直線層: 階数1のベクトル層。スカラー層とは限らない。
  9. 可逆スカラー\mathcal{A}^\bullet: 逆元を持つスカラーの層。乗法に関して群層になる。\mathcal{A}_\times が良いと思う。一般に、多元環層の可逆元の群層をよく使う。
  10. 行列群層 \mathcal{GL}(n, \mathcal{A}): 構造層である環層を係数とする正則行列からなる群層。
  11. (\mathcal{A}, \partial, \Omega^1)微分三つ組〈diffrentical triad〉。\partial は導分=ライプニッツ射。
  12. 対数導分〈対数微分\tilde{\partial}\tilde{\partial}(s) := s^{-1}\partial(s) \mbox{ for }s\in \mathcal{A}^\bullet
  13. 対数微分は積を和にする \tilde{\partial}(st) = \tilde{\partial}(s) + \tilde{\partial}(t)
  14. 行列多元環〈matrix algebra〉層 \mathcal{M}_n(\mathcal{A})スカラー層を係数とする正方行列の行列多元環の層。僕は Mat[\mathcal{A}](n, n) と書く。
  15. 層ではない行列多元環 M_n(A)\mathcal{M}_n(\mathcal{A})(U) \cong M_n(\mathcal{A}(U)) が成立。
  16. ちょっと記号の乱用ぎみだが \mathcal{M}_n(\Omega^1): 実際は、\mathcal{M}_n(\mathcal{A})\otimes_{\mathcal{A}} \Omega^1 \cong (\Omega^1)^{n\times n}
  17. 行列の微分\partial_{mat}:\mathcal{M}_n(\mathcal{A}) \to \mathcal{M}_n(\Omega^1)\mathcal{M}_n(\Omega^1) \cong \mathcal{M}_n(\Omega^1) を利用して成分ごとに定義する。\partial_{mat} は単に \partial と書く。マリオスは \bar{\partial} := M_n(\partial) と書いている。微分の正方行列拡張〈square matrix extension〉という。
  18. マリオスは、(M_n(\mathcal{A}), M_n(\partial), M_n(\Omega^1))微分三つ組の正方行列拡張と言っている。あきらかに非可換だが、微分三つ組に可換性は要求してないようだ。
  19. ベクトル層{の}?接続=\mathcal{A}接続:ベクトル層に対するコジュール接続のこと。加群層のコジュール接続はベクトル層に限定はしない。