マリオス幾何メモ 2 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

全般的な話。

マリオスは、次の記法・定義を使っている
$\mbox{Let }d^0 := \partial\\ \mbox{Assume }d^1 :\Omega^1 \to \Omega^2 := \Omega^1 \wedge_{\mathcal{A}} \Omega^1 \\ \mbox{Assume For }\alpha\in \mathcal{A}, s \in \Omega^1\\ d^1(\alpha\cdot s) = \partial(\alpha)\wedge s + \alpha\cdot d^1(s) \\ = d^1(\alpha)\wedge s + \alpha\cdot d^1(s) \\$

これは、
$\xymatrix { \mathcal{A} = \Omega^0 \ar[r]^-{\partial = d^0} & {\Omega^1} \ar[r]^-{d^1} & {\Omega^1 \wedge_{\Omega^0} \Omega^1 = \Omega^2} }$
が2次DG環なこと。

ここで、k次DG環とは、kより大きい次数がすべて0であるDG環〈可換DG代数〉。0次DG環は単なる環〈可換環〉、X上の1次DG環層はマリオスの微分三つ組〈differential triad〉。X上の2次DG環層を、マリオスは曲率構造／曲率空間と呼んでいる。そして、X上の3次DG環層はビアンキ空間と呼んでいる。ビアンキ恒等式の記述にはビアンキ空間＝3次DG環層が必要。

マリオスのやり方は、一度にド・ラームDG環を与えるのではなくて、必要なだけのkに対して、k次DG環を考える。

$\mathcal{A}$ -加群層 $\mathcal{E}$ に対して、導分 $D = D^0: \mathcal{E} \to \mathcal{E}\otimes_{\mathcal{A}} \Omega^1$ を $\mathcal{A}$ -接続または0次の共変微分と呼ぶ。

1次の共変外微分 $D^1: \mathcal{E}\otimes \Omega^1 \to \mathcal{E}\otimes \Omega^2$ を定義する。

$D^1(s\otimes \tau) := D(s)\otimes \tau + s\wedge d(\tau) \\ R := D^1\circ D^0 : \mathcal{E} \to \mathcal{E} \otimes \Omega^2$

ベクトル層のときは、 $R\in \mathcal{A}\mbox{-}{\bf Mod}(\mathcal{E}, \mathcal{E}\otimes \Omega^2) \cong \mathcal{End}(\mathcal{E})$

Q-代数への布石として、DG環とベクトル層からエンドDG環を作る。

$(\mathcal{End}(\mathcal{E}))^0 := \mathcal{End}(\mathcal{E}) \\ (\mathcal{End}(\mathcal{E}))^1 := \mathcal{End}(\mathcal{E})\otimes \Omega^1 \\ (\mathcal{End}(\mathcal{E}))^2 := \mathcal{End}(\mathcal{E})\otimes \Omega^2 \\ D^0: (\mathcal{End}(\mathcal{E}))^0 \to (\mathcal{End}(\mathcal{E}))^1 \\ D^1: (\mathcal{End}(\mathcal{E}))^1 \to (\mathcal{End}(\mathcal{E}))^2$

R = DD が決まるわけだけど、これを2次元とするQ-多元環を作る必要がある。