グロタンディーク/フビニの定理

グロタンディーク/フビニの定理は、ファイブレーションに関する公式ではなくて、平坦化圏に関する同型性を言っているだけ。射影は関係しない。

一般的な形は: 
\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1} }%
\newcommand{\hyp}{\mbox{-} }%


{\displaystyle
\int_{a\in \cat{A}}\left(\lambda\,a\in \cat{A}.  \int_{x\in F(a)} G(a, x)  \right)
\cong
\int_{(a, x)\in \int_{\cat{A}} F} G(a, x)
}

簡略に書けば:


{\displaystyle
\int_{\cat{A}}\left(\lambda\,a\in \cat{A}.  \int_{F(a)} G(a, \hyp)  \right)
\cong
\int_{\int_{\cat{A}} F} G
}

加群層の例では:

 
{\displaystyle
\int_{a\in {\bf Man} } \left( \lambda\,a\in {\bf Man}.  \int_{x\in {\bf RngSh}(a)} {\bf ModSh}(a, x)  \right) 
} \\
\cong
{\displaystyle
\int_{(a, x)\in \int_{\bf Man} {\bf RngSh}} {\bf ModSh}(a, x)
}

より普通の記法にして、特に対象に注目すると:

 
{\displaystyle
\int_{M\in {\bf Man} } \left( \lambda\, M\in {\bf Man}.  \int_{R\in {\bf RngSh}[M]} {\bf ModSh}[M, R]  \right) 
} \\
\cong
{\displaystyle
\int_{(M, R)\in {\bf RngSheaf}} {\bf ModSh}[M, R]
}

次の書き方の変換をした。


\quad R\hyp{\bf ModSh} \\
= R\hyp{\bf ModSh}[M] \\
= {\bf ModSh}[M, R]