微分とベクトル／フレーム

幾何っぽい 本編ネタ

\newcommand{\hyp}{ \mbox{-}}% \newcommand{\sigtype}{\widetilde{\sum}}% 紆余曲折の結果、座標 x に伴う微分を Dx と書くことにした。紆余曲折は、

  • \partial_i \to \partial^x_i \to D^x_i \to Dx_i

フレーム成分とフレーム全体の関係は：

  • Dx_i = (Dx)_i = \frac{\partial}{\partial x^i}
  • Dx = \begin{bmatrix}Dx_1 & \cdots & Dx_n \end{bmatrix}

接ベクトル場と微分作用素のオーバーロードが非常に紛らわしいのだけど、次のルールで区別する。

  • 単に Dx, Dx_i と書いたときは、接フレーム場／接ベクトル場の意味で、微分作用素ではない。
  • Dx[\hyp], Dx_i[\hyp] と書いたときに限り、微分作用素と解釈する。
  • 特に、 Dx\cdot \xi, Dx_i f などは微分してない！
  • フレームとしての Dx の逆を Dx^\triangleleft = (Dx)^\triangleleft と書く。これはゲージ。
  • Dx^\triangleleft : TM|_{def(x)} \to {{\bf R}^n}_{/def(x)}
  • 微分作用素は、自然数パラメータ k\in {\bf N} に関する多相になる。Dx[\hyp] : \forall{k\in {\bf N}}.(\, \Gamma({\bf R}^{[k]}_{/def(x)}) \to \Gamma({\bf R}[^k_n]_{/def(x)}) \,)
  • 多相パラメータを特定すると、Dx[\hyp]^k : \Gamma( {{\bf R}^{[k]}}_{/def(x)}) \to \Gamma({\bf R}[^k_n]_{/def(x)})
  • 多相パラメータを推論〈エラボレーション〉する前提なら Dx[\hyp]: \Gamma({{\bf R}^{[k]}}_{/def(x)}) \to \Gamma({\bf R}[^k_n]_{/def(x)})
  • Dx から誘導される加群射は \Gamma(Dx) = Dx_*, \Gamma(Dx^\triangleleft) = {Dx^\triangleleft}_* = {Dx_*}^\triangleleft
  • Dx_* \cdot Dx[\hyp] \cdot (Dx_*)^\triangleleft はベクトル場の共変微分。
  • \nabla x^e は、一般のベクトルバンドルのフレーム e: {{\bf R}^r}_{/def(x)} \to E|_{def(x)} から決まる共変微分。これ全体で微分作用素なので、\nabla x^e[\xi] のように作用する。