反ラックス・モノイド関手の一般余乗法の複合公式と一般協調則

モノイド圏 本編ネタ

\newcommand{\Arr}{\:\downarrow } % \newcommand{\coM}{\boldsymbol{d} } % comultiplication \newcommand{\coU}{\boldsymbol{e} } % counit \newcommand{\Ev}{\mathrm{Ev} } \newcommand{\gcoM}{\bar{\boldsymbol{\delta}} } % generic comultiplication \newcommand{\oast}{\circledast } \newcommand{\veq}{ \style{display: inline-block; transform: rotate(-90deg)}{=} }% vertical equal
けっこう強力な法則。

\vec{g}:F\oast \vec{A} \to \vec{B} \text{ in }\mathcal{C}^n だとする。

\begin{bmatrix} G( F(t[\vec{A}]) )\\ G(\gcoM^F_{t, \vec{A}}) \Arr\\ G( t[F\oast \vec{A}] )\\ G( t[\vec{g}] ) \Arr\\ G( t[\vec{B}] )\\ \gcoM^G_{t, \vec{B}} \Arr\\ t[G\oast \vec{B}] \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} G( F( t[\vec{A}]) )\\ G( \gcoM^F_{t, \vec{A}}) \Arr\\ G( t[F\oast \vec{A}] )\\ \gcoM^G_{t, \vec{A}} \Arr\\ t[ G \oast (F \oast \vec{A})] \\ t[ G\oast \vec{g}] \Arr\\ t[G\oast \vec{B}] \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (G\cdot F)( t[\vec{A}]) )\\ \gcoM^{G\cdot F}_{t, \vec{A}} \Arr\\ t[ (G \cdot F)\oast \vec{A} ] \\ \veq\\ t[ G ( F\oast \vec{A} )] \\ t[ G\oast \vec{g}] \Arr \\ t[G\oast \vec{B}] \\ \end{bmatrix}