続・一貫性の用語法

一貫性 用語法

「依存アクテゴリーが面白い」という記事を書きました。実際僕は「面白い」と思っています。プロセスやシステムの記述と計算に使えそうだ、というところが心惹かれる理由でしょうかね。

依存アクテゴリーはけっこう複雑な構造なので、定義を書き下すだけでもそれなりの準備が必要です。とりあえず思いついたこと／気になることを、割と取り留めもなく記します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} }
\newcommand{\In}{\text{ in }}
%\newcommand{\hyp}{\text{－} }
%\newcommand{\F}[1]{ {{#1}^{-1}} } % fiber
%\newcommand{\obj}[1]{ {{#1}\!\downarrow} }
%\newcommand{\SPAN}{ {\mathbb{S}{\bf PAN}} }
%\newcommand{\pto}{\dashrightarrow}
%\newcommand{\twoto}{ \Rightarrow }
%\newcommand{\o}[1]{ \overline{#1} }
%\newcommand{\u}[1]{ \underline{#1} }
\newcommand{\NFProd}[3]{ \mathop{_{#1} \!\underset{#2}{\times}\,\!_{#3} } }
\newcommand{\dblcat}[1]{\mathbb{#1}}
`$

内容：

弱、厳密、スード

「依存アクテゴリーが面白い」で、「弱二重圏〈スード二重圏〉」という言葉に次のような注釈を付けました。

「弱」「スード」は、プロ方向の結合の法則が厳密に〈等式として〉成立するとは限らないことを意味します。単に「二重圏」と言った場合、厳密二重圏か弱二重圏かは人により場合により違います。

このブログ内で単に「二重圏」と言ったら、それは弱二重圏〈weak double category〉のことだとします。「形容詞を付けなければ“弱い意味”で解釈する」というルールです。二重圏に限らず：

  • 単に「2-圏」と言ったら、それは弱2-圏〈weak 2-category〉のこと。横結合の法則が厳密に〈等式として〉成立するとは限らない。
  • 単に「モノイド圏」と言ったら、それは弱モノイド圏〈weak monoidal category〉のこと。モノイド積の法則が厳密に〈等式として〉成立するとは限らない。

法則が等式として成立する場合は「厳密」という形容詞を付けます。厳密二重圏、厳密2-圏、厳密モノイド圏 です。

厳密と弱の中間としての半厳密〈semi-strict〉といった形容詞もありますが、個別に「弱さ」の程度を定義することはあっても、一般的には、厳密かそうでないか（正確には「厳密とは限らないか」）の区別だけにしておきます。

二重圏／2-圏／モノイド圏のあいだの関手（あるいは0-変換手）に関しては、各種の演算をどの程度保つかが問題になります。等式的法則を満たす演算を等式として保つときは「厳密」と形容します。厳密とは限らない場合は「弱」です。デフォルトが「弱」なので形容詞がなければ弱です。関手の弱さ（あるいは緩さ）は三種に分類するのが便利です。

  • スード〈pseudo〉 ： ラクセイター（「緩化子〈ラクセイター〉」参照）が、可逆の場合。
  • ラックス〈lax〉 ： ラクセイターが、可逆とは限らない一方向の場合。
  • 反ラックス〈oplax〉 ： ラクセイターの方向がラックスと反対のとき。

「スード」のことは今まで「タイト〈tight〉」と呼んでいたのですが、二重圏のタイト射／タイト方向とコンフリクトするので諦めて「スード」を使います。「シュードォ」とか手間のかかるカタカナ書きはしません。漢字の「疑」「擬」も使いません。

ラックス／反ラックスについては、「2階インデックス付き圏と反ラックス余錐」で述べたように：

この呼び名は、どちらかの方向をラックスと決めたら、もう一方を反ラックス（あるいは余ラックス）と呼ぶだけで、逆の呼び名もありえます。また、ラックスと反ラックスを区別しないこともあります。

要はお約束の問題です。一般的・統一的ルールは無理なので、その場その場でどっちがラックスかを決めることにします。

アナロジー

集合〈0-圏〉上の構造と圏〈1-圏〉上の構造では、文字通り“次元が違います”。0次元ベースの構造と1-次元ベースの構造のあいだにアナロジーはありますが、次元が違うと様相がまったく変わってしまうこともあります。

「依存アクテゴリーが面白い」にて：

安直なアナロジーが成立するわけではありません。

しかし、次のような対応はありそうです。

  • モノイド ←→ モノイド圏
  • 状態遷移系 ←→ アクテゴリー
  • 通常の圏 ←→ 弱二重圏〈スード二重圏〉

依存アクテゴリーは、アクテゴリーと弱二重圏の中間に位置する構造のように思えます。

上記のアナロジーは、ある程度はガイドとしての役割りを果たしてくれるでしょう。ただし、0次元（集合）ベースの世界における依存アクテゴリー相当のモノがなんだかハッキリしません。対応物は無いのかも知れません。

依存アクテゴリーがアクテゴリーの拡張概念なのは確かです。では、一般的な二重圏と依存アクテゴリーは何が違うのでしょうか？ 依存アクテゴリーの場合、下部構造であるスパンに条件が付いています。左脚がファイブレーション〈ファイバー付き圏〉であることを要求しています。

通常の圏では、左脚（$`\mrm{dom}`$ のことです）は自動的にファイブレーション（の退化したバージョン）になってしまうので、条件に意味がないのです。なので、1-圏の特殊なモノとして依存アクテゴリー相当物を定義するのはうまくいきそうにありません。別に対応物がなきゃ無いでいいんですけどね。

依存アクテゴリーの下部構造であるスパンは、圏達の2-圏内のスパンです。より抽象化すると、適度な極限を持つ2-圏内のスパンです。左脚（$`\mrm{dom}`$ 相当）がファイブレーションであれば、グロタンディーク対応から（グロタンディーク構成の逆向きの構成から）インデックス付き圏を作れます。

通常の圏で言えば、左脚に対してバンドル-ファミリー対応（「バンドル-ファミリー対応 再考」と、そこからリンクされている記事達を参照）によりファミリーを作ったことになります。左脚（$`\mrm{dom}`$）または右脚（$`\mrm{cod}`$）から作ったファミリー？ そう、それは有向コンテナ、または余有向コンテナですよね（以下の記事参照）。

おそらく（根拠薄弱な推測、妄想かも知れない）、片脚がファイブレーションであることから、インデックス付き圏に構造を追加した“2-有向コンテナ”のような扱いができるのでしょう。

通常の圏においても、片側ホムセットを使った圏の定式化が新境地を開くことが確認されつつあります。2次元（むしろ二重次元〈double dimensional〉）でも同じ事態が起きるかも知れません。プレーンなコンテナにおいても、次元を上げたいとは思っていました（以下の記事参照）。依存アクテゴリーが、構造付き2-コンテナ／二重コンテナの実現となる可能性も ‥‥

スノーグローブ現象／マイクロコスモ原理

スノーグローブ現象、あるいはマイクロコスモ原理とは、ある種の“再帰”、“メタ巡回構造”、“自己言及”が生じる事態のことです。https://ncatlab.org/nlab/show/microcosm+principle の記述を引用すると：

Microcosm principle: Certain algebraic structures can be defined in any category equipped with a categorified version of the same structure.

マイクロコスモ原理： 特定の代数構造は、その代数構造を圏化した構造を備える圏のなかで定義可能である。

典型的な例は、モノイドを定義するには、定義のための環境としてモノイド圏が必要になることです。

バエズ〈John C. Baez〉は、ある種の“再帰”、“メタ巡回構造”、“自己言及”をスノーグローブに例えていました。

*1

スノーグローブ内の家が、実はスノーグローブが置かれている家の姿なのです。あるいは、「そっくりハウス」（谷山浩子）のジャケットの絵、女の子が見ている家は、この子が居る家です。

*2

自分で自分を飲み込んでしまうウロボロスも“再帰”、“メタ巡回構造”、“自己言及”を連想させます。

*3

スノーグローブ現象／マイクロコスモ原理は、僕にとっての悩みのタネであると同時に魅惑的な話題でもあります。この話題を扱っている幾つかの記事を古い順に挙げると：

依存アクテゴリーに関して、どこでスノーグローブ現象／マイクロコスモ原理が現れるかと言うと：

  • 二重圏を定義するには、定義のための環境として二重圏が必要になる。

「二重圏を定義するための環境は、圏達の1-圏または圏達の2-圏でしょ」は正しいのですが、二重圏のなかで二重圏を定義するのがより適切なセッティングのようです。「二重圏、縦横をもう一度 // 階付き構造としての二重圏」の記法を使うとして、二重圏の下部構造であるスパンは次のように書けます。

$`\quad \dblcat{D}_0 \overset{\mrm{src}}{\longleftarrow} \dblcat{D}_1 \overset{\mrm{trg}}{\longrightarrow} \dblcat{D}_0 \In {\bf CAT}`$

自己スパンの結合により $`\dblcat{D}_2 = \dblcat{D}_1 \NFProd{\mrm{trg}}{\dblcat{D}_0}{\mrm{trg}}\dblcat{D}_1 = \dblcat{D}_1\times_{\dblcat{D}_0} \dblcat{D}_1`$ が得られます。

$`\quad \xymatrix{
% 1
{}
& {}
& { \dblcat{D}_1\times_{\dblcat{D}_0} \dblcat{D}_1 } \ar[dl] \ar[dr] \ar@{}[dd]|{\text{p.b.}}
& {}
& {}
\\% 2
{}
& {\dblcat{D}_1} \ar[dl] \ar[dr]_{\mrm{trg}}
& {}
& {\dblcat{D}_1} \ar[dl]^{\mrm{src}} \ar[dr]
& {}
\\% 3
{\dblcat{D}_0 }
& {}
& {\dblcat{D}_0}
& {}
& {\dblcat{D}_0}
}\\
\quad \In {\bf CAT}
`$

ただし、2-圏 $`{\bf CAT}`$ 内の可換四角形やプルバック図式の定義は色々とあるので、プルバック（$`\text{p.b.}`$ と書いている）の意味をハッキリと決める必要があります。

$`{\bf CAT}`$ 内のスパンをプロ射、射〈関手〉をタイト射、なんらかの可換四角形を二重射とする“環境としての二重圏”を考えると、“環境内で定義される構造としての二重圏”の外部結合 $`\mrm
{prod}`$ と単位 $`\mrm{unit}`$ は次のように描けます。（記号の乱用で、スパンを $`\dblcat{D}`$ と記します。）

$`\quad \xymatrix{
\dblcat{D}_0 \ar@{=}[d]
\ar@{-->}[r]^{\dblcat{D}}
\ar@{}[drr]|{\mrm{prod}\,\Downarrow\:}
& \dblcat{D}_0
\ar@{-->}[r]^{\dblcat{D}}
& \dblcat{D}_0 \ar@{=}[d]
\\
\dblcat{D}_0
\ar@{-->}[rr]_{\dblcat{D}}
& {}
& \dblcat{D}_0
}\\
\quad \In \mathbb{S}\mrm{PAN}({\bf CAT})
`$

$`\quad \xymatrix{
\dblcat{D}_0 \ar@{=}[d]
\ar@{-->}[r]^{\mrm{I}_{\dblcat{D}_0} }
\ar@{}[dr]|{\mrm{unit}\,\Downarrow\:}
& \dblcat{D}_0 \ar@{=}[d]
\\
\dblcat{D}_0
\ar@{-->}[r]_{\dblcat{D}}
& \dblcat{D}_0
}\\
\quad \In \mathbb{S}\mrm{PAN}({\bf CAT})
`$

“環境としての二重圏” $`\mathbb{S}\mrm{PAN}({\bf CAT})`$ がうまく定義できたとして、“環境内で定義される構造としての二重圏”は、“環境としての二重圏”内のモノイドとなるので、圏 $`\mrm{Mon}(\mathbb{S}\mrm{PAN}({\bf CAT}))`$ の対象となります。二重圏達の圏の定義は次のようです。

$`\quad {\bf DblCAT} := \mrm{Mon}(\mathbb{S}\mrm{PAN}({\bf CAT}))`$

二重圏の全体が再び二重圏にはならないのか？ 僕はよくわかりません。ガブリエラ・ブームの次の論文によると、二重圏達の圏に指数対象が定義できるので、関手空間は再び二重圏になるようです。

一貫性地獄

前節で、「2-圏 $`{\bf CAT}`$ 内の可換四角形やプルバック図式の定義は色々とある」と言いました。1-圏では、プルバック（という名の極限）の定義は一種類しかないし、プルバックの極限対象であるファイバー積も（同型を除いて）一意に定まります。2-圏ではそういうわけにはいきません。

次の三辺形を考えてみます（三辺形と三角形の違いは「圏論におけるフレーム充填問題 // n辺形とn角形」参照）。

$`\quad \xymatrix{
{}
& \codt \ar[dr]^{g}
& {}
\\
\cdot \ar[ur]^{f} \ar[rr]^{h}
& {}
\cdot
}`$

上の図式が1-圏内の図式なら、「可換だ」という意味はハッキリと決まります。しかし、2-圏内の図式だとすると、三辺形の内部を埋める2-射の種類により「可換三角形」の意味が変わります。

$`\quad \xymatrix{
{}
& \cdot \ar[dr]^{g}
\ar@{}[d]|{||}
& {}
\\
\cdot \ar[ur]^{f} \ar[rr]_{h}
& {}
& \cdot
}
\xymatrix{
{}
& \cdot \ar[dr]^{g}
\ar@{}[d]|{\Updownarrow}
& {}
\\
\cdot \ar[ur]^{f} \ar[rr]_{h}
& {}
& \cdot
}
`$

左の三角形は $`f;g = h`$ の意味で、等式を表すので厳密可換三角形です。右の三角形は、等式とは限らないが、$`f;g`$ と $`h`$ のあいだに可逆な2-射が存在することを意味します。$`f;g \cong h`$ と書けて、三角形はスード可換三角形〈pseudo commutative triangle〉です。

$`\quad \xymatrix{
{}
& \cdot \ar[dr]^{g}
\ar@{}[d]|{\Uparrow}
& {}
\\
\cdot \ar[ur]^{f} \ar[rr]_{h}
& {}
& \cdot
}
\xymatrix{
{}
& \cdot \ar[dr]^{g}
\ar@{}[d]|{\Downarrow}
& {}
\\
\cdot \ar[ur]^{f} \ar[rr]_{h}
& {}
& \cdot
}
`$

上の2つの三角形では、三辺形を埋める2-射が可逆とは限りません。片一方を「ラックス」と呼んだときもう一方は反ラックスです。ラックス／反ラックスの決め方の基準はないので、その場で決めます。特定の文脈における習慣はあるかも知れません。いずれにしても、上の2つの三角形は「ラックス可換三角形」と「反ラックス可換三角形」です。

四辺形、五辺形、‥‥ と辺の数が増えると、内部を埋める2-射達の組み合わせ方のバラエティは爆発的に増えます。2-射が等式しかない1-圏の場合とは違って、単に「可換図式だ」では済まされないのです。

演算の法則、例えば結合法則〈associative law〉を記述する場合も、2-圏内では等式が一貫性射〈coherence {momorphism | map}〉に置き換わるかも知れません。一貫性射達の組み合わせに関するメタ法則として、一貫性法則〈coherence {law | axiom}〉が別に必要になります。

1-圏内で構造（例えばモノイド）を定義するときは、演算と等式的定義で済んでいましたが、2-圏や二重圏内で構造を定義するときは、演算・法則・メタ法則のバラエティが増えて、その記述と計算も複雑化します。あまりの煩雑さゆえに一貫性地獄〈coherece hell〉と言うこともあります。

二重圏や依存アクテゴリーは、“環境としての二重圏”のなかで定義される構造なので、一貫性地獄に陥る懸念があります。一貫性を扱うポリシーや一貫性の記述・計算の工夫が必要になります。

*1:バエズ〈John C. Baez〉が説明に使っていた絵、出典不明

*2:画像は https://www.amazon.co.jp/dp/B00006II9F より。

*3:画像は wikipedia項目「ウロボロス」 より。