全圏と底圏の反対圏を取ったものがファイブレーションなら、それは反ファイブレーション。反ファイブレーションは、共変のインデックス付き圏＝余インデックス付き圏に対応する。同一の射影関手が、同時にファイブレーションであり反ファイブレーションであるとき、双ファイブレーション。
双ファイブレーションは随伴トリプルに対応する。
| 論理／型理論 | Σf | Δf | Πf |
| 層の理論 | f! | f* | f* |
これは、グロタンディーク四オペレーション〈4-operation | 4-functor〉の f* = f! のケース。https://ncatlab.org/nlab/show/six+operations
- $`f_! \dashv f^!`$ （シュリーク〈shriek〉随伴）
- $`f^* \dashv f_*`$ （スター随伴）
- $`f_! \dashv f^! = f^* \dashv f_*`$ （シュリーク・スター随伴）
反ファイブレーションは、余ファイバー付き圏（by グロタンディーク）。が、ホモトピー論と相性が悪い。ホモトピー的には：
- ファイブレーション： リフティング性を持つ。
- 余ファイブレーション： 拡張性を持つ。
[追記]スライス・インデキシング $`X \mapsto \mathcal{C}/X`$ では、後結合前送り関手が $`f_!`$ で、その随伴のデカルト引き戻しが $`f^*`$ 。つまり、$`f_! \dashv f^*`$ 。さらに引き戻し $`f^*`$ の右随伴があれば $`f*`$ 、つまり $`f^* \dashv f_*`$ 。結局 $`f_! \dashv f^* \dashv f_*`$ 。
[/追記]
