随伴トリプルと双ファイブレーション

全圏と底圏の反対圏を取ったものがファイブレーションなら、それは反ファイブレーション。反ファイブレーションは、共変のインデックス付き圏=余インデックス付き圏に対応する。同一の射影関手が、同時にファイブレーションであり反ファイブレーションであるとき、双ファイブレーション。

双ファイブレーションは随伴トリプルに対応する。

論理/型理論 Σf Δf Πf
層の理論 f! f* f*

これは、グロタンディーク四オペレーションの f* = f! のケース。https://ncatlab.org/nlab/show/six+operations

  • $`f_! \dashv f^!`$
  • $`f^* \dashv f_*`$
  • $`f_! \dashv f^! = f^* \dashv f_*`$

反ファイブレーションは、余ファイバー付き圏(by グロタンディーク)。が、ホモトピー論と相性が悪い。ホモトピー的には:

  • ファイブレーション: リフティング性を持つ。
  • 余ファイブレーション: 拡張性を持つ。

[追記]スライス・インデキシング $`X \mapsto \mathcal{C}/X`$ では、後結合前送り関手が $`f_!`$ で、その随伴のデカルト引き戻しが $`f^*`$ 。つまり、$`f_! \dashv f^*`$ 。さらに引き戻し $`f^*`$ の右随伴があれば $`f*`$ 、つまり $`f^* \dashv f_*`$ 。結局 $`f_! \dashv f^* \dashv f_*`$ 。
[/追記]

半グラフ

  1. 近傍半辺集合〈近傍フラグ集合〉: ボリソフ/マニンは $`F_\tau(v) = \partial^{-1}(v)`$
  2. edge-corolla : 頂点とその近傍半辺集合から作られるカローラ
  3. grafted edge : ソースグラフのテールがペアリングされて作られたターゲット側の内部辺
  4. edge preserving map : 辺関係〈ペアリング対合〉が保存される。
  5. merger〈頂点統合〉: 半辺写像で、辺関係が保存される変形。

レイ

ハワイのレイ〈Lei | Ray〉

https://www.alohahawaiianflowers.com/custom-lei.html

綴りは Lei が多い。が、Ray はハワイ語で「光」を意味するらしい。

エイ

HackMDのMathJaxレンダリング・バグ

おそらく金曜(2023-11-10)あたりから、HackMDの数式表示が壊れている。改行処理が走らないのと、拡張モジュールが読み込めないのが症状。

拡張モジュールは \require{XXXX} としてロードする。次のソースコードをサンプルにする。

色付け
$\require{color}\textcolor{green}{\text{Definition}}$

圏論図式
$\require{AMScd}
\begin{CD}
 A @>>> B\\
 @VVV   @VVV\\
 C @>>> D
\end{CD}$

はてなブログのMathJax機能(公式じゃなくて個人的カスタマイズだが)で直接レンダリングすると:

色付け
$`\require{color}\textcolor{green}{\text{Definition}}`$

圏論図式
$`\require{AMScd}
\begin{CD}
A @>>> B\\
@VVV @VVV\\
C @>>> D
\end{CD}`$

上記サンプルをHackMD文書にして、自分の環境で、chrome, firefox, Microsoft Edge でレンダリングした画面コピー:

chrome:

firefox:

Edge:

どれもまともに表示できないが、どれも症状が違う。実に笑ける -- 苦笑い、泣き笑いだが。

MathJaxのキャッチフレーズは math in all browsers だが、設計も実装もだいぶトリッキーで汚いことやりまくっているから、ギリギリの綱渡りで数式表示が出来ているのが現状。HackMDが全面的に悪いとも思えない。とても困ってはいるけど。

インターフェイス、オペセット、算子〈アイテム〉

ホムセット要素/色/極性の相当物の呼び名」の続き。

  1. 図/図式〈ダイアグラム〉はキャンバスに描かれる。
  2. キャンバスに穴〈holes〉があるかも知れない。
  3. 穴はインターフェイスを持ち、キャンバス自体も(外部境界の)インターフェイスを持つ。
  4. 複数の穴は複数のインターフェイスを持ち、それはインターフェイスのクラスター〈構造付き有限集合〉になる。
  5. インターフェイスに対する集合の割り当てをスピシーズと呼ぶ。単純な文脈ではスピシーズをファミリーと呼ぶ。
  6. 穴達〈holes = arguments〉に対するインターフェイスは、インターフェイスのクラスターを形成する。
  7. スピシーズがあると、穴達は“集合のクラスター”を作る。
  8. 図式セット〈set of diagrams〉〈フォレスト〉があり、所属する図式ごとに、スピシーズから決まる集合のクラスターからの関数が決まっているとき、それを当該図式に対するコンビネータと呼ぶ。
  9. 特定のスピシーズと図式でインデックスされたコンビネータの族を“インターフェイス付き図式セット”の集合表現〈set representation〉と呼ぶ。
  10. 図式 $`d`$ のコンビネータを $`\mathbb{K}_d`$ と書く。コンビネータは、複関手の複ホムパートになる。対象パートがスピシーズで与えられる。
  11. インターフェイス付き図式〈形状〉の集まりがスケマティック系だとすると、インターフェイス上のスピシーズと、コンビネータがスケマティック系の集合表現を与える。
  12. スケマティック系の集合表現の全体は圏となる。表現の圏/代数の圏。

スケマティック系としてのモノイド

  1. 色の集合は単元集合。
  2. アルファベットは図式〈シンボル〉の集合である。この場合、アルファベットの個々の文字が図式〈シンボル〉になる。
  3. 文字=図式=シンボルのインターフェイス〈インターフェイス〉は単元集合に値を取る。
  4. スピシーズは単一の集合のことである。
  5. スピシーズが定義する集合のクラスターは、集合のリスト。意味は直積。
  6. 図式〈シンボル〉ごとのコンビネータは、$`\mathbb{K}_a : X \to X`$ という写像。
  7. 図式〈シンボル〉ごとのコンビネータ=文字ごとの写像があれば、自由モノイドに拡張できる。
  8. 異なるアルファベットは、異なるスケマティック系を定義する。
  9. アイテムセットは、表現集合となり、アイテムとは表現集合の要素である。
  10. アイテムのリラベリングによる転移は発生しない。

スケマティック系としての圏

  1. グラフの頂点が色となる。
  2. グラフの辺が図式〈シンボル〉となる。図式〈シンボル〉の集合は、辺の集合。
  3. 辺=図式=シンボルのインターフェイス〈プロファイル | 色付きクラスター〉は、頂点のペアに値をとる。
  4. スピシーズは頂点に集合を割り当てる。
  5. スピシーズが定義する集合のクラスターは、集合のリスト。意味は直積。
  6. 図式=辺 ごとのコンビネータは、$`\mathbb{K}_f : X \to Y`$ という写像。
  7. アイテムセットは、表現集合となり、アイテムとは表現集合の要素である。
  8. 異なるアルファベットは、異なる圏を定義する。

バエズ/ドーラン・ツリーの呼び名

バエズ/ドーラン・ツリー 星座図 入れ子のワイヤリング図
バエズ/ドーラン低木〈shrub〉 平坦な星座図 ワイヤリング図
  • バエズ/ドーラン低木
  • シームレス・バエズ/ドーラン・ツリー
  • 高さ1以下のバエズ/ドーラン・ツリー

ワイヤリング・パターン = ワイヤリング図の同型同値類

  • バエズ/ドーラン低木の同型同値類

ホムセット要素/色/極性の相当物の呼び名

ホムセット相当物の要素をなんと呼ぶか?

  1. セル
  2. アロー
  3. エッジ
  4. フェース
  5. ハイパーエッジ
  6. オペレーション
  7. テンソル
  8. 状態
  9. 構造(スピシーズのとき)
  10. オブジェクト(一般的なモノとして)

ホムセット相当物に作用する写像は:

  1. コンビネータ
  2. メタオペレーション(オペレーションに対するオペレーションだから)
  3. 高階オペレーション

オペラッドの色に相当するモノをなんと呼ぶか?

  1. タイプ
  2. ソート
  3. 対象

プロファイルに相当するモノをなんと呼ぶか?

  1. インターフェイス
  2. プロファイル
  3. シグネチャ

極性に相当するモノをなんと呼ぶか?

  1. 極性
  2. 符号
  3. パリティ
  4. 荷電

色パレットの色に相当するモノをなんと呼ぶか?

  1. ラベル
  2. 重さ
  3. 修飾

縫い目とスポット

縫い目と言えばフランケンシュタインの怪物。


スポットと言えばダルメシアン。


原圏〈urcategory〉

モジュラーオペラッドを原圏〈urcategory | 原始圏 | ウル圏〉と呼ぶ。ウル〈ur-〉の意味は、

https://www.etymonline.com/jp/word/ur-

「原始的な、初期の」という意味の接頭辞で、ドイツ語の「ur-」から派生しました。 ドイツ語の元々の意味は「外側、原始的な」という意味で、古代ゲルマン語の「*uz-」から派生し、PIE の「*ud-」(「out(adv.)」を参照)に由来します。

次のような分類をしたい。

  • 原圏〈モジュラーオペラッド〉
  • 複圏〈オペラッド〉
  • 余複圏
  • 多圏

原圏に生成スパイダー〈初等スパイダー〉を装備〈gear〉して、スパイダー付き原圏〈spidered urcategory〉を作りたい。スパイダー付き色付き原圏がデータベース理論の道具。

「HRY19b」のメモ

$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1} }
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} }
\newcommand{\op}{\mathrm{op} } %
\newcommand{\hyp}{\text{-} } %
\newcommand{\pto}{\supseteq\!\to } %
%`$

メモ:
  1. singular functor とは? nerve functorと同義か?
  2. ひとつの半グラフに対して、ひとつのモジュラーオペラッドが作れる、どうやって?
  3. 圏の脈体定理を、モジュラーオペラッドの脈体定理に(が目的)。
  4. composition = multiplication@Ray, contraction = contraction@Ray = contraction@Kis 、テンソル積はない。非モノイド的。
  5. $`i:\Delta \to {\bf Cat}`$ は圏解釈関手〈category interpretation functor〉
  6. 脈体関手(の対象パート)は $`\cat{C} \mapsto ({\bf Cat}(i(\hyp), \cat{C}) : \Delta^\op \to {\bf Set}) \in |\Delta^\wedge|`$
  7. 脈体定理は、シーガル・アプローチ〈Segalic approach〉の根幹。
  8. A modular operad [GK98] is an algebraic structure
  9. $`\Sigma_n`$-set とは、対称群が作用する集合
  10. composition が contraction@テンソル計算 = connecting で、contraction が trace = self contraction = wheeling = looping だろう。
  11. Segalic approach (Lawverian approach もあるでよ)
  12. Our modular graphical category, called $`{\bf U}`$
  13. $`{\bf U}`$ の対象は、 undirected, connected graphs with loose ends
  14. $`{\bf U}`$ の射は、‘blowing up’ vertices of the source into subgraphs of the target
  15. loose end は open edge と同義で、half-edge とは別。ファインマンの外線、キャンバス境界ポートに相当するだろう。
  16. $`{\bf U}`$-前層の圏が問題になる。the presheaf category on the graphical category
  17. 忠実関手 $`{\bf U} \to {\bf ModOp}`$ がある。ひとつのグラフに対して、ひとつの色付きモジュラー・オペラッドが対応する。ほう、そうなんだ。グラフィカル圏から代数系(CLAS)の圏への忠実関手。
  18. 上記の代数生成関手〈algebra generating functor〉は、グラフをいったんばらして指標にしてから自由生成しているのではないか? なんか微妙なところがある。絵図種〈graphical species〉が指標では?
  19. 忠実関手から反変的に誘導される前層圏への関手 $`{\bf ModOp} \to {\bf U}^\wedge`$ は充満忠実。
  20. 前述の充満忠実関手が脈体関手で、本質像〈essential image〉はシーガル条件で記述される。(シーガル脈体定理)
  21. 脈体関手は特異関手と同義だろう、たぶん。で、脈体関手は、代数〈CLAS〉生成関手から作られる。
  22. 色集合は、対合を持つ対合付き色集合。
  23. color matching が重要になる。color matching で結合可能/縮約可能条件を記述する。
  24. color matching for composition and contraction operations
  25. モジュラー・オペラッドは、ground category(集合圏やベクトル空間の圏)に対して相対的に定義される。
  26. involutive groupoid を color collection に使った例もある。
  27. involution の例は opposing orientations of the edge、orientation はチューブの進行方向に対する回転の向きとか。
  28. structured set of colors は pallete@Ray が便利かも。
  29. modular operad = compact symmetric multicategory
  30. wheeled properad は、generalized modular operad の特殊ケース。
  31. Theorem B が [JK09, 11] の示唆と予告の再現
  32. This is the first publicly available proof of Theorem B. Our proof does not use the techniques proposed by Joyal and Kock. [JK09-] で示唆されたのとは違う手法で証明している。
  33. 形状〈絵図 | グラフ | スキーマ〉の圏から代数〈CLAS〉の圏への関手があると、脈体関手=前層表現を誘導する。
  34. monadic definition of modular operad : モナド・アプローチも採用
  35. 関手 $`J:{\bf U} \to {\bf ModOp}`$ を $`\langle \hyp \rangle`$ で書く。
  36. シーガル$`U`$-前層 という概念が出てくる。シーガル・アプローチの代数。形容詞「シーガル」は、「シーガル条件を満たす」の意味。
  37. ‘loose ends’; that is, it is not necessary for both ends (or either end) of an edge to touch a vertex.
  38. edges loose at one end = 単頂点辺
  39. ree floating edge = 無頂点辺
  40. flag の代わりにアーク〈arc〉。メンタルには有向辺で、先頭だけに頂点を持つかも知れない。
  41. アークの矢印の先にある頂点を $`t : A \pto V`$ で指定する。
  42. v を指すアーク a は、v から出る半辺 a 、これはボックス v に属するポート a でもある。
  43. the involution i swaps orientation. という解釈。分かりにくい。
  44. safeは free loop が無いこと。unsafe は free loop があること。
  45. nodeless loop と exceptional edge は一人前のグラフの名前。グラフと“グラフの構成素”は違う。が、判別は微妙。ソフィー・レイノアも GRAPHICAL COMBINATORICS において、 exceptional edge, exceptional loop を使っていた。無頂点ループ=自由浮動ループ=例外ループ、例外=無頂点、ニ頂点=内部
  46. グラフとして線形グラフ、サイクル。
  47. 有限集合 S のスターを定義している。これはカローラと同じもの。
  48. グラフの頂点の近傍スターも定義している。ボックスのポートセットと同じ。
  49. グラフが連結であることと、エタール射が定義される。エタール射は局所同型で、全域埋め込みではない。
  50. 連結グラフのあいだの射がエタール射で、頂点で単射なら埋め込み射。被覆もエタール射だから、埋め込みとエタール射はまったく違う。
  51. 埋め込み射によりサブオブジェクト集合 Sub(G) = Emb(G) を定義できる。HRYは Sub ではなくて Emb を使っている。
  52. the loop with one vertex, a loop at a vertex と nodeless loop を使っている。レイノアは with no vertices も使っている。
  53. 例外辺〈exceptional edge〉は両端が開いた辺、無頂点ループは無ノードループ〈nodeless loop〉
  54. 価数〈valence〉はポート数、頂点の近傍は、ボックスのポート集合と同じ。
  55. interface は使ってない。
  56. インターフェイス関手は、色付き境界関手 $`\partial_\mathfrak{C}`$ になっている。
ポイント:
  1. 第1節が別論文の要約で、半グラフの話。圏 $`{\bf U}`$ を定義。
  2. 第1節でモジュラーオペラッド。モナド方式定義〈monadic definition〉と、グラフ $`G`$ からモジュラーオペラッド $`\langle G\rangle`$ 。つまり、$`J: {\bf U}\to {\bf ModOp}`$
  3. パレット@レイノア は $`\mathfrak{C}`$
  4. モデルのターゲット圏、環境圏は $`{\bf E}`$
  5. $`{\bf B}_\mathfrak{C}`$ は、$`\mathfrak{C}`$色付き有限集合(coloring function 付き集合)と色保存双射の圏〈亜群〉。Bはbijectionから。これは組み合わせ種〈combinatorial species〉の形状圏だ。
  6. $`{\bf Set}^{{\bf B}_\mathfrak{C}}`$ は色付き形状〈無向指標〉の亜群の上で定義された組み合わせ種の圏。
  7. $`J : {\bf U} \to {\bf ModOp}`$ に伴う脈体関手の定義は $`N(\hyp) = {\bf ModOp}(J\_, \hyp) : {\bf ModOp}\to {\bf U}^\wedge`$
  8. free involutions on the sets of colors とは、集合から作った対合付き集合。もとの集合を2倍して極性を付ければよい。対合は $`{^\dagger}`$ と書く。
考えたこと:
  1. ボックス&ポート方式では、ポートはボックスに所属する接続点、無順序対が無向ワイヤーを与える。
  2. 頂点と半辺〈half-edge〉方式、頂点と有向辺〈arc〉方式、ボックス&ポート方式がある。
  3. 線形グラフ〈竹グラフ〉とサイクル・グラフ(サークルやループと混同しないように)は半グラフの一種。サイクルは、サイクル・グラフからの射/エタール射/埋め込み射などを表すこともある。
  4. 例外ボックスを設けて、例外ボックスのポート(=例外ポート)に無頂点ループを一対一対応付ける。例外ポートはワイヤリング写像の不動点になる。
  5. exceptional edge はHRYも使っているが、構成素ではなくてグラフのこと。exceptional loopはないようで、nodeless loop は使っている。
(一時的でも)暗記事項:
  1. [HRY] の半グラフは分かりにくく扱いにくい
  2. 例外ループも2つのarcを持つ設定、気持ち悪い。
  3. $`A`$ はすべての arc = ポート の集合
  4. $`t`$ は target = terminal で arc = ポートのパートナー写像
  5. $`D`$ は (t の domain) = 内部接続ポート または 境界介在ポート。境界通過ポートと内部介在ポートと例外ポート=例外ループは含まれない。
  6. $`s`$ は subset injection
  7. $`i`$ は involution = wiring = partner
  8. $`s D \subseteq A`$ は、D と同じだから、内部接続ポート または 境界介在ポート。
  9. $`A \setminus s D`$ は、境界通過ポートと内部介在ポートと例外ループ。
  10. $`i s D`$ は、内部接続ポートと内部介在ポート
  11. $`(i s D \setminus s D)`$ は、境界介在ポート
  12. 境界には、境界介在ポートと境界通過ポートが含まれる。
  13. 明示的な $`\partial(G)`$ が[JK]と違う点。
  14. 前層の指標図式と境界写像〈boundary map〉、境界は外線の集合に対応する。
  15. $`2 Z`$ は極性付きダブルだが、この記法は分かりにくい。$`Z + Z^dagger`$ とかでいいのでは。
  16. $`\updownarrow`$ は例外辺グラフ = 2個の通過境界ポート
  17. ポートとワイヤーの分類: 境界介在〈intervention〉ポート、内部介在ポート、内部接続ポート、境界通過ポート、例外ポート。介在ワイヤー、接続ワイヤー、通過〈pass-through〉ワイヤー、例外ループ

「JK09」のメモ

グラフィカルな色々 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編[JK09] 再掲。

  • [JK09]
  • Title: Feynman graphs, and nerve theorem for compact symmetric multicategories (extended abstract)
  • Author: Andr? Joyal, Joachim Kock
  • Submitted: 19 Aug 2009
  • Pages: 9p
  • URL: https://arxiv.org/abs/0908.2675
  • [JK11] Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270 (2011), no. 2



  1. ファインマングラフの圏を構成する。これは一種の graphical category ≒ 形状圏 かも?
  2. ファインマングラフ ←→ “コンパクト対称複圏(=色付きモジュラー・オペラッド)”の射の絵図項
  3. 線形順序(のグラフ) ←→ “圏”の射の絵図項
  4. 根付き木 ←→ “複圏”の射の絵図項
  5. コックのQPL2006でのトークの論文化
  6. 脈体定理 : コンパクト対称複圏は、シーガル条件に関して〈subject to a Segal condition〉、ファインマングラフの圏上の前層として特徴付けられる。前層圏の部分圏と圏同値。
  7. ~~の脈体定理〈nerve theorem for ~~〉: ~~を「形状圏上の前層の圏」のなかで特徴付ける。脈体関手とシーガル条件
  8. plain category という言い方してる。
  9. Table 1 が素晴らしい! 下に画像コピー
  10. inner vertex = inner box
  11. matching operations これがワイヤリングの素材(名詞の複数形に形容詞)、matching は operations(複射の集合)に付ける条件(の形容詞)
  12. 基本〈初等〉オペレーションは形状を持つ、その形状が {planar}? {ordered}? {rooted}? corolla
  13. 基本オペレーションを組み合わせると {planar}? {ordered}? {rooted}? tree
  14. pasting = wiring, pasted = wired
  15. unordered rooted corolla = ソースプロファイルが集合である基本オペレーション
  16. unordered unrooted corolla = 全プロファイルがひとつの集合である基本オペレーション(無印のカローラ)
  17. semi-graph = Feynman graph
  18. portの定義: calling the loose edges ports 。loose edge はファインマンが言う外線で、外線=キャンバスポートだけをポートと呼んでいる。
  19. open edge は単頂点辺、開放端を持つ辺
  20. half-edges or flags 同義語
  21. interface の定義: The set of ports of a graph is called its interface. 外部ポート〈キャンバスポート〉の集合がインターフェイス。
  22. refinement (blow-up)と etale map は定義している。

考えたこと:

  1. corolla, unrooted tree, rooted tree, semi-graph = vine などを総称して植物(連結な図形)と呼ぶ。
  2. モノイド積が入ると、hedge of plants, forest of plants を定義できる。
  3. wheeled, traced, with cotraction, with duals = rigit = compact はだいたい同じ。

圏類似代数系〈category-like algebraic system | CLAS〉の分類基準:

  1. 色無し vs. 色付き(色無し含む)
  2. 順序無し vs. 順序付き
  3. 根無し vs. 根付き
  4. 連結 vs. 非連結(連結含む) (単一連結成分 vs. 複数連結成分)
  5. 無分割 vs. ニ分割

「Ray21」のメモ

グラフィカルな色々 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編[Ray21] のメモ。

  • [Ray21]
  • Title: Brauer diagrams, modular operads, and a graphical nerve theorem for circuit algebras
  • Autor: Sophie Raynor
  • Submitted: 10 Aug 2021 (v1), 18 Nov 2022 (v2)
  • Pages: 65p
  • URL: https://arxiv.org/abs/2108.04557


後で追加予定

  1. $`\mathbb{M} = (M, \nu^\mathbb{M}, \eta^\mathbb{M})/\mathsf{C}`$ と書く。
  2. the category monad は、圏の自由生成モナドのこと。
  3. the semi-category monad は、恒等があるとは限らない圏を生成するモナド
  4. semi-categorical composition は半圏の結合
  5. $`\mathsf{C}^\mathbb{M}`$ がモナドのEM圏
  6. the symmetric groupoid $`\Sigma, \; |\Sigma| = {\bf N}`$
  7. pairing = perfect matching
  8. n-punctured 2-disc = disc with n-holes
  9. set of objects = palette of colors 色の集合をパレットと呼ぶ(ダジャレ)
  10. involutive palette = palette 対合を持つパレットも単にパレットと呼ぶ(良くないが)
  11. category of palettes パレットの圏を考える。