導分、微分の使い分け

微分射、ライプニッツ射、導分、共変微分 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 の続き。

相対可換環 Φ/K (Kは体)があるとして、DerK(Φ) = Der(Φ/K) は可換環の導分で、Kはゼロにするもの。導分はこの意味で使うのがいいかもしれない。

XとYが(Φ/K)-加群だとして、LeibΦ/KJ(X, Y) は、Jに沿った(Φ/K)-ライプニッツ射の全体は、

  • LeibΦ/KJ(X, Y)

導分とライプニッツ射は区別する。自己ライプニッツ射の集合 LeibΦ/Kid(X, X) の要素は導分と呼びたい気持ちは残る。また、自己ライプニッツ射は共変微分である。

乱用の分類 構造・構成素の乱用、同型・等値の乱用

構造・構成素の乱用は、一番よくやるやつ。M = (M, *, e) とか。コジュール接続だと:

  • E = (E, S, ∇) where S = Γ(E)
  • S = (E, S, ∇)
  • ∇ = (E, S, ∇)

名前付き順序付きタプルを使って、 X = {v-bundle: E, sec-space, deriv: ∇} とすれば、

  • X.v-bundle = E
  • X.sec-space = S
  • X.deriv = ∇

v-bundle, sec-space, deriv を構造の構成素名、または役割名と呼ぶ。出現順で番号付けるとすれば:

  • X.1 = E
  • X.2 = S
  • X.3 = ∇

Coqと同様に、文脈型推論(出現する文脈の情報からの型推論)と強制グラフでオーバーロード解決が可能(たぶん)。

構造の定義のときに、構成素名〈constituent names〉と構成素順番〈constituent ordering〉を決める。乱用に使う強制アローを決めて、強制グラフを更新する。

用語法でも同じで、「V がベクトル空間である」から「(V, +, ・) がベクトル空間である」と読み替える。

同型・等値の乱用は、A \cong B を A = B と書くこと。これについては、同値類に落として解釈できることもあるが、矛盾が出ないかを注意深くチェックしなくてはならないので、かなり危険。合理化は難しい。典型事例は、V** = V 。

微分射、ライプニッツ射、導分、共変微分

微分射、ライプニッツ射、導分、共変微分が同義語でいいかどうか疑問になってきた。微分階付き=DG の意味の微分は平方零な作用素になっている。

共変微分は、特殊なライプニッツ{射 | 作用素}。半微分階付き構造〈sDG構造〉の0次の部分を構成する。シュバレー/アイレンベルク外微分公式で、0次の部分から任意次数〈階数〉に拡張できる。

ビアンキ的な)曲微分作用素〈曲階付き導分〉が一番扱いやすいと思う。いずれにしても、ZZ2、またはそれらの直積の階付け群を考える

Markdownの環境

オンラインのMarkdownエディタ&ビューワーには、StackEditを使うことにした。

オンラインで直接書くこともできるが、

  1. [#] → Import/Export → Import Markdown で、ローカルからのファイルアップロードができる。
  2. Mrakdownテキストをコピー・ペーストで貼り付けてもよい。

Chrome でも、[#] → Print による印刷が割ときれいで十分使える。

他に、

この2つは似てる。HackMDのほうが完成度が高いが、無料だと文書を非公開にできない。以前のGitHubと同じビジネスモデル。kibe.laは無料で非公開も可能だが、イマイチな点もある。HackMDを有料(月10ドル=今日で1,076円)にするのがいいかも知れない。4人以上だと一人5ドル増える。HackMDの決済は https://stripe.com/jp を使っている。

Markdownの注釈は、注釈マーカー挿入位置に [^footnoteID] を置き、どこかで独立行の注釈本文を [^footnoteID]: … [改行] として書く。1つの注釈に別行が必要な点が書き手としては面倒だが、生で読む側にはいいのかもしれない。

StackEditとHackMDの数式は同じ構文で標準的、つまり $...$ と $$, $$。kibel.la は特殊で、$`...`$ と ```{latex}, ``` を使う。kibe.la方式は嫌いだ。$` `$ と $$`, `$$ とかなら良かっただろうに、、、構文的統一性に気を使って欲しい。

[追記 date="2020-05-26"]
StackEditとHackMDのMarkdown構文は同じように思える(差がない)。ひょっとして、同じパーザーを使っているのかもしれない。テキストエディタは違うかも知れない。HackMDのエディタはキーバインド変更ができるっぽい。
[/追記]

全射沈め込みとチェック亜群:亜郡・亜代数と層の幾何

亜郡・亜代数と層の幾何 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編への追加。

ニコラウス/シュワイガート〈Thomas Nikolaus, Christoph Schweigert〉に加えて、ウォルドルフ〈Konrad Waldorf〉も同様な議論をしている人。

DG代数、曲DG代数、非ビアンキ曲DG代数

  • DG代数の微分は、平方零微分。平方零性は仮定する。
  • 曲DG代数の微分は、平方零を仮定せず、曲平方公式を仮定し、曲がりはコサイクルだとする(ビアンキ恒等式Bianchi identity〉)。
  • ビアンキ曲DG代数は、曲平方公式は仮定するが、曲がりがコサイクルとは限らず、曲がりの微分が残る。

「非ビアンキ曲」を、ブロックが"really curved"と呼んでいたが訳しにくいので意訳。非ビアンキは non-Bianchi か non-Bianchian か?

短い言い方

微分作用素の言い方:

作用素の平方を表す公式を平方公式〈{quadraticy | square} formula〉と呼ぶ。実質的に、平方零公式〈{squre-zero | zero-square} formula〉と曲平方公式〈curved square formula〉だけ。

階付き代数構造の言い方:

  • 関数環 Φ = 環付き空間の構造可換環
  • ド・ラーム環 Ω = ド・ラーム微分階付き可換環層 Ω := ℓΓMT*M)
  • Ω上の{右 | 左 | 両側}加群 S = Ω上の半微分階付き{右 | 左 | 両側}加群層、使いにくい
  • 曲代数 = 曲微分階付き代数層
  • エンドフォーム曲代数 Ω<End(S)> = エンドフォームの曲微分階付き代数層、曲微分と曲がり〈curving | 曲率元 | curvature element〉を持つ。
  • 曲代数 Ω<End(S)> 上の曲加群 = 半微分階付き加群層で、曲がりによる平方公式を満たすもの。

様々な主空間

主等質空間を主空間〈principal space〉と呼ぶ。

  • 群主空間 : 群が作用する主空間
  • 可換群主空間 : 可換群が作用する主空間
  • ベクトル空間主空間 : ベクトル空間が作用する主空間=アフィン空間。可換群主空間の一種。
  • 加群主空間 : 加群が作用する主空間。可換群主空間の一種。
  • 代数主空間 : 代数〈多元環〉の加法可換群が作用している。掛け算で作用していれば群主空間になる。

共変微分の空間が、ベクトル空間主空間であり加群主空間にもなっている。リー代数に対する主空間が意味があるか?

ベクトルバンドル層、ベクトル空間層

「ベクトル層」は曖昧でよくない。ベクトルバンドルから作られた層=局所有限階数自由加群層はベクトルバンドル層と呼ぶ。一方、体の局所定数層の上のベクトル空間層は、ベクトル空間層。

ベクトル空間層は重要で、相対可換環層上の加群層はベクトル空間層でもある。層のあいだの微分作用素は、加群層射にはならないが、ベクトル空間層射になっている。

DG可換環、曲DG代数、曲DG加群

曲DG加群 -- 曲率の代数構造 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 の続き。

次数1の階付き微分作用素作用素、テンソル作用素、微分作用素 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 参照)が平方零性を持たないと、コホモロジー・マシンナリィを起動〈invoke〉できない。が、コホモロジーできなくても計算はできる。

一番下に、ド・ラームDG可換環(これは平方零微分を備える)Ωがあり、Ω上の非可換な曲DG代数 A があり、A上の曲DG加群 M がある。DG可換環の圏、曲DG代数の圏、曲DG加群の圏は、多重ファイバー付き圏になっていると思う。DG可換環の下には環付き空間=可換環層があるし。

  1. 体 K (例:R
  2. K上の可換環層=環付き空間 Φ (例:なめらか関数環層)
  3. Φ上のDG可換環 Ω (Ω0 = Φ) (例:ド・ラーム複体)
  4. Ω上の曲DG代数 A (例:コジュール接続層のエンド形式層)
  5. A上の曲DG加群 M (例:コジュール接続層)

多重ファイバー付き〈多重ファイブレーション〉構造がある。

一番下にあるのが体、または体の局所定数層だから、体の圏が基礎的〈foundational〉になる。体の圏の射は拡大だから、拡大によって、世界がガサッと変わるわけだ。標数が違う体は連絡してないから、標数ごとに離れ離れの構造 -- F1がその下に居るのかも知れないが。K = R, C のケースを、他の体K上でも実行できれば、微分幾何の方法を移出できる。なるほど、「算術〈数論的〉ナントカ」はそういうことか。例えば、多様体上で展開する古典力学量子力学を移出すれば「算術物理」。

曲DG加群 -- 曲率の代数構造

「非可換」は「可換ではない」じゃなくて「可換性を仮定しない」という意味。Kは体。階付き{外}?微分〈graded {exterior}? {derivative | differential}〉は平方零性を持つ微分のこと。平方零性をはずした微分階付き半微分〈graded {semiderivative | semidifferential}〉と呼ぶ。半微分であってもライプニッツ法則は満たす。

Aが、階付き掛け算を持った階付き非可換K-{結合的}?代数であって、掛け算に対して階付きライプニッツ法則を満たす階付き半微分 d を備えているとする。交換子積でK-リー代数になるから、Aのリー代数構造も一緒に考える。

微分階付き{非可換}?代数〈semidifferential graded {non-commutative}? algebra | sDGA〉が、次を満たすとき微分階付き代数〈curved differential algebra〉と呼ぶ。

  • 2次の元 h があって、d2(-) = dd = [h, -]

2次の(階数2の)斉次元 h を曲率元〈curvature element〉と呼ぶ。h = 0 の曲DGAはDGAである。d2 の肩の2が次数なのか累乗なのか非常に紛らわしい、注意!

Mは階付きK-ベクトル空間であり、半微分階付き非可換代数Aの階付き左スカラー倍を持っているとする。つまり、Mは階付きA-左加群。次数1の作用素 δ:M→M があり、Aの左作用〈左スカラー倍〉に対してライプニッツ法則を満たすとき、δをA-加群微分{作用素}?〈semi-differential operator〉と呼ぶ。

作用素」に関しては 作用素、テンソル作用素、微分作用素 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編

Mが曲DG代数Aの左加群であり、半微分δを持っていて、δ2(-) = δδ = h・- (・は左スカラー倍)を満たすとき、MをA-曲左加群〈left curved A-module | 左曲A-加群〉と呼ぶ。右加群も同様に定義できる。

曲DG代数の曲率元 h は、曲DG加群Mに対して左スカラー倍により作用して、その作用は次数2のM上の{自己}作用素となる。(h・-):M→M[+2] を曲率作用素〈curvature operator〉と呼ぶ。ここで、-[+2] は、階付けの+2シフトを意味する。

最も重要な例は、(V, ∇) をコジュール接続層として、Ak := Ωk<End(V)> として定義される曲DG代数層。コジュール接続層 (V, ∇) のシュバレー/アイレンベルク半微分階付き加群層〈sDG加群層〉は、曲DG代数層A上の曲加群層になる。こうして、コジュール接続層から作られる階付き曲加群構造を、コジュール接続 (V, ∇) の標準曲微分階付き加群〈standard curved differential graded module | standard crvDGM | 標準曲DG加群〉と呼ぶ。

コジュール接続{層}?から標準曲DG加群を構成する手順を標準曲構成〈standard curved construction〉と呼ぶ。

  • 標準曲構成は、コジュール接続の圏から曲DG加群の圏への関手である。

標準曲構成関手は、双対とテンソル積に対しても良く振る舞うと予想している。標準曲構成関手(SCCと略記)と、シュバレー/アイレンベルク関手(CEと略記)がどう関連するのか? カルタン計算(カルタン微分計算系はいいぞ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog))とどう関係するのか?

作用素、テンソル作用素、微分作用素

ベクトルバンドル層=ベクトルバンドルから作られる加群層=局所有限階数自由加群層 のあいだの層射を考える。

まず、ベクトルバンドル層 ℓΓ(E) をR-ベクトル空間層と考えて、層射がR-線形写像の層射のとき、単に作用素と呼ぶ。言葉を、文脈により特化して使っている(一般用語を特別な意味で)。作用素は、定義よりR-線形であり、層だから局所性を持つ。つまり、作用素=局所性を持つR-線形写像の族。

作用素 ℓΓ(E)→ℓΓ(F) over M が ΦM に対して線形のとき、作用素テンソル〈tensorial〉だという。テンソル的な作用をテンソル作用素〈tensorial operator〉と呼ぶ。A:ℓΓ(E)→ℓΓ(F) over M がテンソル作用素のとき、A∈ℓΓ(F)\otimes(ℓΓ(E))* とみなせる。'∈' は層理論の意味での所属。

J:ℓΓ(E)→ℓΓ(F) over M がテンソル作用素とする。つまり、ΦM-加群層としての準同型層射。D:ℓΓ(E)→ℓΓ(F)\otimesΩMライプニッツ法則を満たせば、作用素Dは微分〈differential〉と呼ぶ。微分的な作用素微分作用素または導分〈derivation〉と呼ぶ。微分作用素〈導分〉と共変微分同義語。以下は同義語で、雰囲気的に使い分ける:

  1. 微分
  2. 導分
  3. 微分作用素
  4. 微分
  5. ライプニッツ
  6. 共変微分

ベクトルバンドルの同型射〈可逆射〉達があると、その同型射達を使って作用素変換できる。同型射の向きにより、いくつかの方向の変換が定義できる。同型射、変換の方向性はかなり混乱する

局所的ベクトルバンドル(開集合への制限)において、ゲージ(=ユークリッドファイバーのベクトルバンドルへの局所自明化)とフレーム(ゲージの逆)による作用素変換が起きる。座標に伴うホロノーム{ゲージ | フレーム}による作用素変換は、ホロノーム変換〈holonomic transform〉と呼ぶ。ゲージ/フレームがホロノームでないベクトルバンドルも、もちろん扱う。

ベクトルバンドル層が対象、バンドル同型が横射、作用素が縦射、変換を2-射とする二重圏で考えるのが良さそうだ。

層の使い方

可換環層=環付き空間 の上の加群層が最も使う。次の事実が重要。

  1. セール/スワンの定理: ベクトルバンドル層の加群的な特徴付け=局所有限階数自由加群
  2. 引き戻し公式: ℓΓ(φ#E) \cong φ-|(ℓΓ(E))
  3. グロタンディーク六演算の随伴公式
  4. 射影公式

そして、可換環層上の加群層のホモロジー代数(層のコホモロジー)。

とりあえず、エーレスマン接続を加群層で定義して、性質を調べる。

添字の用法は7種類以上

  1. インデックス:  x^{i\,j}_k = x[i, j/k]
  2. インデックス部分適用:  x^{i}_k = x[i, -/k]
  3. 型注釈:  x^{i\, j}_k \Leftrightarrow  x:V \to W\otimes W
  4. 縮約:  x^{i\, j}_k y^k
  5. オーバーロード解決  \delta^j_i, \; \delta_{i\,j},\; \delta^{i\, j}
  6. オペレータ:  x^{i\, j\, k} \mapsto x^{\beta\, \gamma\, \alpha},\: T_{[2\; 3\; 1]}(x)
  7. 関連する略記:  \langle i |\circ x = x^i, \: x^t = t^{-1}\circ x \circ t
  8. 無関係:  a^2, \: x^{-1}, \: A^{T}, \: f^\ast 二乗、逆、転置、双対

δのオーバーロード解決は、内積があればそのまま合理化できるが、内積がないときは、なんとマーカーをオーバーロードする。「オーバーロード解決用の目印をオーバーロードする」という凄まじさ。

インデックス用法でのアインシュタイン規約は、型注釈の縮約表現と区別が付かない。オペレータとしては、置換オペレータ、対称化オペレータ、交代化オペレータなど。

ラムダ記法、適用書式付きラムダ記法、無名変数簡易ラムダ記法を使えば、かなりスッキリする。

上付き・下付き添字をマジに考えたら頭痛がした - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)も参照。