「HRY19b」のメモ

• [HRY19b]
• Title: Modular operads and the nerve theorem
• Authors: Philip Hackney, Marcy Robertson, Donald Yau
• Submitted: 4 Jun 2019 (v1), 26 Apr 2020 (v2)
• Pages: 32p
• URL: https://arxiv.org/abs/1906.01144
• URL (PDF): https://arxiv.org/pdf/1906.01144.pdf

$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1} }
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} }
\newcommand{\op}{\mathrm{op} } %
\newcommand{\hyp}{\text{－} } %
\newcommand{\pto}{\supseteq\!\to } %
%`$

メモ：

1. singular functor とは？ nerve functorと同義か？
2. ひとつの半グラフに対して、ひとつのモジュラーオペラッドが作れる、どうやって？
3. 圏の脈体定理を、モジュラーオペラッドの脈体定理に（が目的）。
4. composition = multiplication＠Ray, contraction = contraction＠Ray = contraction＠Kis 、テンソル積はない。非モノイド的。
5. $`i:\Delta \to {\bf Cat}`$ は圏解釈関手〈category interpretation functor〉
6. 脈体関手（の対象パート）は $`\cat{C} \mapsto ({\bf Cat}(i(\hyp), \cat{C}) : \Delta^\op \to {\bf Set}) \in |\Delta^\wedge|`$
7. 脈体定理は、シーガル・アプローチ〈Segalic approach〉の根幹。
8. A modular operad [GK98] is an algebraic structure
9. $`\Sigma_n`$-set とは、対称群が作用する集合
10. composition が contraction＠テンソル計算 = connecting で、contraction が trace ＝ self contraction = wheeling = looping だろう。
11. Segalic approach （Lawverian approach もあるでよ）
12. Our modular graphical category, called $`{\bf U}`$
13. $`{\bf U}`$ の対象は、 undirected, connected graphs with loose ends
14. $`{\bf U}`$ の射は、‘blowing up’ vertices of the source into subgraphs of the target
15. loose end は open edge と同義で、half-edge とは別。ファインマンの外線、キャンバス境界ポートに相当するだろう。
16. $`{\bf U}`$-前層の圏が問題になる。the presheaf category on the graphical category
17. 忠実関手 $`{\bf U} \to {\bf ModOp}`$ がある。ひとつのグラフに対して、ひとつの色付きモジュラー・オペラッドが対応する。ほう、そうなんだ。グラフィカル圏から代数系（CLAS）の圏への忠実関手。
18. 上記の代数生成関手〈algebra generating functor〉は、グラフをいったんばらして指標にしてから自由生成しているのではないか？ なんか微妙なところがある。絵図種〈graphical species〉が指標では？
19. 忠実関手から反変的に誘導される前層圏への関手 $`{\bf ModOp} \to {\bf U}^\wedge`$ は充満忠実。
20. 前述の充満忠実関手が脈体関手で、本質像〈essential image〉はシーガル条件で記述される。（シーガル脈体定理）
21. 脈体関手は特異関手と同義だろう、たぶん。で、脈体関手は、代数〈CLAS〉生成関手から作られる。
22. 色集合は、対合を持つ対合付き色集合。
23. color matching が重要になる。color matching で結合可能／縮約可能条件を記述する。
24. color matching for composition and contraction operations
25. モジュラー・オペラッドは、ground category（集合圏やベクトル空間の圏）に対して相対的に定義される。
26. involutive groupoid を color collection に使った例もある。
27. involution の例は opposing orientations of the edge、orientation はチューブの進行方向に対する回転の向きとか。
28. structured set of colors は pallete＠Ray が便利かも。
29. modular operad = compact symmetric multicategory
30. wheeled properad は、generalized modular operad の特殊ケース。
31. Theorem B が [JK09, 11] の示唆と予告の再現
32. This is the first publicly available proof of Theorem B. Our proof does not use the techniques proposed by Joyal and Kock. [JK09-] で示唆されたのとは違う手法で証明している。
33. 形状〈絵図 | グラフ | スキーマ〉の圏から代数〈CLAS〉の圏への関手があると、脈体関手＝前層表現を誘導する。
34. monadic definition of modular operad ： モナド・アプローチも採用
35. 関手 $`J:{\bf U} \to {\bf ModOp}`$ を $`\langle \hyp \rangle`$ で書く。
36. シーガル$`U`$-前層 という概念が出てくる。シーガル・アプローチの代数。形容詞「シーガル」は、「シーガル条件を満たす」の意味。
37. ‘loose ends’; that is, it is not necessary for both ends (or either end) of an edge to touch a vertex.
38. edges loose at one end ＝ 単頂点辺
39. ree floating edge ＝ 無頂点辺
40. flag の代わりにアーク〈arc〉。メンタルには有向辺で、先頭だけに頂点を持つかも知れない。
41. アークの矢印の先にある頂点を $`t : A \pto V`$ で指定する。
42. v を指すアーク a は、v から出る半辺 a 、これはボックス v に属するポート a でもある。
43. the involution i swaps orientation. という解釈。分かりにくい。
44. safeは free loop が無いこと。unsafe は free loop があること。
45. nodeless loop と exceptional edge は一人前のグラフの名前。グラフと“グラフの構成素”は違う。が、判別は微妙。ソフィー・レイノアも GRAPHICAL COMBINATORICS において、 exceptional edge, exceptional loop を使っていた。無頂点ループ＝自由浮動ループ＝例外ループ、例外＝無頂点、ニ頂点＝内部
46. グラフとして線形グラフ、サイクル。
47. 有限集合 S のスターを定義している。これはカローラと同じもの。
48. グラフの頂点の近傍スターも定義している。ボックスのポートセットと同じ。
49. グラフが連結であることと、エタール射が定義される。エタール射は局所同型で、全域埋め込みではない。
50. 連結グラフのあいだの射がエタール射で、頂点で単射なら埋め込み射。被覆もエタール射だから、埋め込みとエタール射はまったく違う。
51. 埋め込み射によりサブオブジェクト集合 Sub(G) = Emb(G) を定義できる。HRYは Sub ではなくて Emb を使っている。
52. the loop with one vertex, a loop at a vertex と nodeless loop を使っている。レイノアは with no vertices も使っている。
53. 例外辺〈exceptional edge〉は両端が開いた辺、無頂点ループは無ノードループ〈nodeless loop〉
54. 価数〈valence〉はポート数、頂点の近傍は、ボックスのポート集合と同じ。
55. interface は使ってない。
56. インターフェイス関手は、色付き境界関手 $`\partial_\mathfrak{C}`$ になっている。

ポイント：

1. 第1節が別論文の要約で、半グラフの話。圏 $`{\bf U}`$ を定義。
2. 第1節でモジュラーオペラッド。モナド方式定義〈monadic definition〉と、グラフ $`G`$ からモジュラーオペラッド $`\langle G\rangle`$ 。つまり、$`J: {\bf U}\to {\bf ModOp}`$
3. パレット＠レイノア は $`\mathfrak{C}`$
4. モデルのターゲット圏、環境圏は $`{\bf E}`$
5. $`{\bf B}_\mathfrak{C}`$ は、$`\mathfrak{C}`$色付き有限集合（coloring function 付き集合）と色保存双射の圏〈亜群〉。Bはbijectionから。これは組み合わせ種〈combinatorial species〉の形状圏だ。
6. $`{\bf Set}^{{\bf B}_\mathfrak{C}}`$ は色付き形状〈無向指標〉の亜群の上で定義された組み合わせ種の圏。
7. $`J : {\bf U} \to {\bf ModOp}`$ に伴う脈体関手の定義は $`N(\hyp) = {\bf ModOp}(J\_, \hyp) : {\bf ModOp}\to {\bf U}^\wedge`$
8. free involutions on the sets of colors とは、集合から作った対合付き集合。もとの集合を2倍して極性を付ければよい。対合は $`{^\dagger}`$ と書く。

考えたこと：

1. ボックス＆ポート方式では、ポートはボックスに所属する接続点、無順序対が無向ワイヤーを与える。
2. 頂点と半辺〈half-edge〉方式、頂点と有向辺〈arc〉方式、ボックス＆ポート方式がある。
3. 線形グラフ〈竹グラフ〉とサイクル・グラフ（サークルやループと混同しないように）は半グラフの一種。サイクルは、サイクル・グラフからの射／エタール射／埋め込み射などを表すこともある。
4. 例外ボックスを設けて、例外ボックスのポート（＝例外ポート）に無頂点ループを一対一対応付ける。例外ポートはワイヤリング写像の不動点になる。
5. exceptional edge はHRYも使っているが、構成素ではなくてグラフのこと。exceptional loopはないようで、nodeless loop は使っている。

（一時的でも）暗記事項：

1. [HRY] の半グラフは分かりにくく扱いにくい。
2. 例外ループも2つのarcを持つ設定、気持ち悪い。
3. $`A`$ はすべての arc = ポート の集合
4. $`t`$ は target = terminal で arc = ポートのパートナー写像
5. $`D`$ は (t の domain) = 内部接続ポート または 境界介在ポート。境界通過ポートと内部介在ポートと例外ポート＝例外ループは含まれない。
6. $`s`$ は subset injection
7. $`i`$ は involution = wiring = partner
8. $`s D \subseteq A`$ は、D と同じだから、内部接続ポート または 境界介在ポート。
9. $`A \setminus s D`$ は、境界通過ポートと内部介在ポートと例外ループ。
10. $`i s D`$ は、内部接続ポートと内部介在ポート
11. $`(i s D \setminus s D)`$ は、境界介在ポート
12. 境界には、境界介在ポートと境界通過ポートが含まれる。
13. 明示的な $`\partial(G)`$ が[JK]と違う点。
14. 前層の指標図式と境界写像〈boundary map〉、境界は外線の集合に対応する。
15. $`2 Z`$ は極性付きダブルだが、この記法は分かりにくい。$`Z + Z^dagger`$ とかでいいのでは。
16. $`\updownarrow`$ は例外辺グラフ ＝ 2個の通過境界ポート
17. ポートとワイヤーの分類： 境界介在〈intervention〉ポート、内部介在ポート、内部接続ポート、境界通過ポート、例外ポート。介在ワイヤー、接続ワイヤー、通過〈pass-through〉ワイヤー、例外ループ