球体的n-マグマを使うアプローチは、次の状況で使う。 構成的 v.s. 非構成的 →構成的 組み合わせ的 v.s. 非組み合わせ的 →組み合わせ的 形状 →球体 次元の上限 →有限 マグマ演算〈magma operation〉＝結合〈composition〉が定義されている。Xはn次元球体的集…

Σを指標として、Σはメタ指標Σ'の配下〈governed by〉にあるとする。Σで導入（新規に定義）された記号を使って書かれた構文的対象物〈syntactic object〉をΣ-項と呼ぶ。Σ-項は、ΣのΣ'による自由閉包〈free closure〉の要素になる。Σ-項に対する演算は、Σ'によ…

XとYが球体的集合〈globular set〉だとして、(Xn)[p]→Ym という写像（単なる写像！）を、p項のn-to-m割り当て〈n-to-m assignment of p-argument{s}?〉と呼ぶ。(-)[p]は、公平タプルの集合。形容詞として使うなら n-argument だと思うが、of の後だと n-argu…

適宜追加予定。 名前 使ったことがある 恒等関手 I, IdC, J モノイド積 , P, Y, × 単位射 i, J, I 単位対象 I, 1, 1 自明圏 I, I 自明集合 1, 1 自明アトム *, 0 対角 Δ, δ 潰し関手 K, !' 射影 π1, Π1, proj1 2-圏の恒等 IDK 恒等自然変換 IDF, ιF 自明厳密…

https://web.maths.unsw.edu.au/~danielch/thesis/adrian_miranda.pdf Bicategories and Higher Categories Adrian Toshar Miranda June 2, 2017 Daniel Chanのもとでの修士論文。Tom Leinster の Basic Bicategories (1998) とよく似た書き方のテキスト。変…

マイクロコスモス原理関係記事： デカルト圏、こんな定義もあります - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) http://m-hiyama.hatenablog.com/entry/20111124/1322100492 マイクロコスモ原理の恐怖 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) http://m-hiya…

デカルト圏、こんな定義もあります - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)（2011年） [上記の]デカルト圏の定義を言い換えてみましょう。この言い換えは[、次の概念を確認するために]良い練習問題です。 上記記事を「過去記事」と呼ぶ。 過去記事 最近 圏…

階数 r を横に、縦に次元・弱性 ν を取って、圏論的実体の表。 r = 0 r = 1 r = 2 宇宙 U0 U1 U2 ν = 0 Set SET SET ν = 1 Cat CAT CAT ν = s2 s2-Cat s2-CAT s2-CAT ν = w2 Bicat BICAT BICAT truncation は、Cat↓1 など、prolongation Set↑2 など。Set↓0 =…

プリンタの紙入れがなんか具合が悪くなった。無理に引くと壊れそう。手前に引く前に、水平に左のほうにスライドさせる（押し付ける）感じで、スライド後に引くとよい。

次の記事で、 接微分と余接微分、射影関係式 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 接微分 と余接微分 を紹介した。ちなみに、“TeXのスクリプト体＝\mathscr＝カリグラフィー体”でTを書いている。プロファイルは、 : Man→Φ-Mod-Sheaf-| Man→Φ-Mod-Sheaf|-…

考える素材に。不完全。 レベル 0 1 2 3 典型圏 10-Cat#0 21-Cat#1 22-Cat#2 23-Cat#3 別名 Set CAT CAT 一般圏 C 対象変数 A C 対象定数 1 I, Set I, CAT CAT 射変数 f F 射定数 !A , Δ, Π × 2-射変数 なし α, β 2-射定数 なし !, δ, π 実際に使う予定の記…

デカルト・モノイド圏は、デカルト・モノイド圏のなかで定義される。 外のCAT 定義されるC I in CAT 1 in C ★ in CAT ☆ in CAT I~:★→CAT in CAT 1~:☆→C in CAT (-×-):CAT×CAT in CAT P:C×C→C in CAT <-, ->:CAT∧CAT in CAT Q:C∧C→C in CAT Δ::CAT^⇒Δ*P:CAT→C…

Vはベクトル空間として、V#を、双対ペアの相方空間とする。(V#, V, <-|->) がペア。IはVの（事前に決めた）インデックス集合。I#は、相方インデックス集合で、#:I→I# をインデックス双射、#~は線形化 <I>→<I#>とする。この状況で、 FrameI(V) := Iso(<I>, V) CoframI(V</i></i#></i>…

多行列は、複インデックス〈多重インデックス〉集合のペアから作った複インデックス・ペアにベクトル空間の値を対応させる写像。複インデックス集合＝インデックス集合の列を I, J などとして、Π(I)×Π(J)→V 。ベクトル空間Vとして、多線形写像のホム空間を取…

ベクトル空間Vを基本として、線形要素は ベクトル (→V) フォーム (V→) コベクトル (→#V) コフォーム (#V→) 線形基準は フレーム ({I}→V) ゲージ (V→{I}) コフレーム ({#I}→#V) コゲージ (#V→{#I}) 変換は、 ゲルフォント変換： ベクトル→コフォーム 余ゲルフ…

PolLinは： 対象はベクトル空間である。 多対象はベクトル空間のリストである。これを多ベクトル空間と呼ぶ。 多射は多線形写像 f:Γ→Δ 多射 f に対して、f! : Γ→(Δ) mullin, !f! : (Γ)→(Δ) lin が対応する。 演算には、カット（単純カット、マルチカット、フ…

テンソル空間の定義： テンソル因子の情報が本質的 テンソルの定義： プロファイル情報が本質的 テンソルと“テンソルの線形写像”は異なる概念： テンソル x に対してその写像 map(x) を x と書くことにする。「x = y ⇒ x = y」は成立しない。 係数域は体では…

7.13 Continuous functors 7.14 Morphisms of sites

計算の利便性を追求した結果、凄まじいオーバーロード（多義的使用）を使う習慣が定着してしまった。今更どうにもならないので、必要に応じて区別して解釈する。 Mは多様体 UはMの開集合 x:U→Rn は局所座標 は、関数または関数タプルを右から掛ける掛け算記…

2019年5月3日/4日に連投している。 ヤコビ表示とヤコビ形式 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 ヤコビ表示変換＝ゼー関手 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 ヤコビ表示関手＝Д関手 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 二種類のヤコビ表示…

射影公式 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 微分の上昇と下降 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 多様体のあいだの写像に、その接微分〈tangent differential〉と余接微分〈cotangent differential〉を対応させる。 接微分関手 余接微分関手 圏…

上昇： ascent, ascend up to 下降：descent, descend down to 言葉に慣れる必要がある。多様体 M, N のあいだの写像 f:M→N に対して、その微分 df がどこに居るか？ を考える。Mの接ベクトル層〈tangent vector sheaf〉を次のように定義する。 fの接ベクト…

サイトの各空間（対象）に、n-集合を割り当てるのがn-前層 F。n-前層Fがあるとき、降下データのシステムはn-圏になる。n-前層Fの値 F(U) から、降下データのシステム D(F, U) への分解〈disassembly〉 disF:F(U)→D(F, U) が、n-圏のn-同値であるとき、n-前層…

参考：微分幾何で上付き・下付きアスタリスクを使い過ぎるのはよくない - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) 参考：線形代数の星座 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 インターバンドル射 イントラバンドル射 バンドルセクション 内部ホム バンド…

ポンサンのテキスト（https://orbilu.uni.lu/bitstream/10993/14274/1/MM4-9November2011.pdf）のP.46の命題15に次の式が出ている。なお、rは実際はドイツ文字（\mathfrak）で 。同じページ内に、Xの定義は と書いてあるので、次でも同じ。括弧と演算子を少…

以前も書いたが： 場 1 接続付きバンドル 場 2 セクション 外部空間 底空間 内部空間 ファイバー 外部自由度／対称性 底空間への群作用 内部自由度／対称性 ファイバーへの群作用 外部無限小変換 ベクトル場、流れの微分 内部無限小変換 構造群のリー代数元 …

クラインのエルランゲン・プログラム： エルランゲン・プログラム 教授就任の講演だったのは知ってたが、1872年（150年前）、23歳だってぇー。不変量云々はいいとして、「群Gが空間Sに作用している状況」を考える、という方針に注目する。この状況をクライン…

エーレスマン接続にはエーレスマン分裂完全列、主接続〈カルタン接続〉にはアティヤ分裂完全列が付随するようだ。π:E→M を任意のファイバーバンドルとして、エーレスマン接続があるとする。すると、ベクトルバンドルの完全列 0→Ker(Tπ)→TE→TM→0 ができる。が…

リー群からリー代数を作る関手をリー線形化関手〈Lie Linearlization Functor〉と呼び、LLと記す。 LL:LieGrp→LieAlg バンドル構成〈bundle construction〉 (-)-Bdl[-] により、リー群バンドルとリー代数バンドルが作れる。 LieGrp-Bdl[M] LieAlg-Bdl[M] グ…