gerbe gerbeはフランス語 意味は「たば」、bundle, stackに近い。 発音はジェルブっぽい。 torsor 胸像（胴体だけの彫像）のトルソーは、torso で最後のrがない。 torsor はスペイン語で「ねじり」のことらしい。torsionに近いのか。 力学でトルソーモーメン…

"層に関してちょっと 2： 層化 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)" のまとめ。 RelSp[X] := Top/X と定義する。Xを固定した上で、 RelSp[X] の対象を、X上の相対空間と呼ぶ。 (φ:A→X) in RelSp[X] のとき、A = (A, φA) と書く。 Aをメイン空間、Xを底…

多様体論で pick some chart なんて言い方をする。これはイプシロン記号だろう。 pick some A a は、存在が証明されている、Aであるxをひとつ選択しaとする。 pick some A a ≡ a := εx∈X.A(x)

多様体を考えるとき、マテリアル解釈とスペース解釈がある。M→M という自己同型射を考えるときも、解釈は： Mmaterial→Mspace Mmaterial→Mmaterial Mspace→Mspace がある。いつでもこういう解釈が必須というわけではないが、概念の理解に解釈が役にたつかも…

[追記]層論化、まじめに考えると大変だわ。[/追記]層論化前層から層を作る層化とは別に、「ナニカの層論化」がある。定式化する。Cが圏のとき、SがTopの部分圏（Topへの埋め込みを持つ圏）だとして、グロタンディークサイトの構造を持たせる。この状況で、 …

ヤコビ計算とは、自明ファイバーバンドルの圏の計算ということになる。自明ファイバーバンドルは、底空間とファイバーからなるが、底空間の圏Bと、ファイバーの圏Fを仮定する。 Bは、対称モノイド圏である。モノイド積は通常直積だが、他でもいいかも。 Fは…

ゲージ不変性の意味するところ： 記述の客観性（観測者の無差別性） パッシブ・ゲージ変換に対する同変性 対象物形状の対称性 アクティブ・マテリアル変換に対する不変性 これはまったく違う。しかし、区別が難しい。ゲージ概念とマテリアル変換概念が基本。…

基本概念を明確するのはやはり大事。 ゲージ変換とは何か？ このとき、 アクティブ変換とパッシブ変換の区別 底固定バンドル射と底可変バンドル射の区別 ゲージ関数とヤコビ・ペアと一般のバンドル同型の区別 底固定のバンドル自己同型と、底が可逆であるバ…

S⊆M を閉集合とする。OS(M) をSを含む開集合の集合とする。ここに次に同値関係を入れる。 U ～ V :⇔ ∃W∈OS(M).( W⊆U かつ W⊆V ) この同値類をSの無限小近傍と呼ぶ。S上の関数ジャームは、無限小近傍で定義された関数と考える。多様体と閉集合の組 (M, S) と…

特殊相対論は、一般相対論の特殊ケースとみるか、ニュートン力学の変更〈リバイス〉とみるかで定式化が違ってくる。できるだけニュートン寄せで定式化すると、絶対的なニュートン計時を、たくさんあって任意に選べるミンコフスキー計時に変更して、バンドル…

多様体上の流れ、正確には流れの時間的ジャームと接ベクトル場と微分形式〈接コベクトル場〉の関係をもっとクリアにしたい。複接ベクトル場、複微分形式〈複接コベクトル場〉と複流れ芽〈multiple flow germ | multiflow germ | germ of multiflow〉の関係。

気付いた！考えた時系列にだいたい沿って書く； ゲージ群G、ファイバーFの自明バンドルの圏を考える。バンドル射は底写像を考えるが底写像は可逆とする。この状況で、バンドル射は可逆となるので、自明バンドルの圏は亜群となる。これを (G, F)-自明バンドル…

檜山の用語法・記法 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 Cを圏として、 HomC(A, B) = MapC(A, B) = C(A, B) IsoC(A, B) = CIso(A, B) EndC(A) = CEnd(A) = HomC(A, A) AutC(A) = CAut(A) = IsoC(A, A) 他に、 Cを具象圏として InjC(A, B) Cを具象圏とし…

現行の記法・用語は文句言おうがどうにもならないので、基本的に現行記法・用語を使う方針。以下、順不同。 推奨 現行 チャート {局所}?座標{系}? チャート開集合 座標近傍 チャート写像 座標{系}? チャート成分関数 座標{成分}?{関数}? 座標関数系 {局所}?…

twist ねじれ, ひねり, ゆがみ, より, もつれ wrench ねじり, ひねり, ねんざ tortile ねじれた、ねじることのできる torsion ねじり strain ひずみ stress 応力 contortion ゆがみ, ねじれ, ひきつり, ゆがめ, こじつけ, スパズム 日本語 ひずみ strain ゆ…

偏微分を∂を使って書く習慣、いまさらどうにもならないが、意味なかった。d/dx でよかった。∂/∂x は不適切な記法だった。(∂/∂xi)i∈1..n と (dxi)i∈1..n は互いに双対基底〈双対フレーム〉なのだが、この点を合理化するにも次の習慣が良かった気がする。v = […

U, V, W などは多様体Mの開集合、A, B, Cなどはユークリッド空間Rn の開集合。チャート写像 φ に対して、dom(φ)⊆M, im(φ)⊆Rn。(U, x)はチャート、im(x) = A とする。U上のベクトル場 X∈ΓM(U, TM) は、gi∈C∞(A) を使って、 標準表示 と書ける。ここで： gi(x)…

ポンプの補題とその使い方： 回文の例 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) へのuさんのコメント。言語Lに対する次の命題を想定しているようだ。 P(L) ≡ ∀w∈L.∀x, y, z.(w = xyz ⇒ x, y, z∈L) ￢P(L) ≡ ∃w∈L.∃x, y, z.(w = xyz ∧ ￢(x, y, z∈L)) Σ = {0…

定数と定常 ケーラー微分 正則〈非特異〉なバンドル射と多様体射 代数的テイラー展開と微分基底 導分の前送り 定数と定常ベクトルバンドルの加群層 M over A があるとする。d:A→Ω が基礎微分系で、∇は、M上の共変微分とする。∇:M→MΩ。Mの要素＝セクションが∇…

雑多かつ順不同。XがA上のM-値導分のとき、X(a) = 0 であるaは、X方向に定常〈stationary〉と呼ぶ。すべての方向に定常なAの要素は定常元〈stationary element〉と呼んでいい。「定数」でもいいが、「定数」は別な意味で使いたいから「定常」にする。 定常で…

代数的な導分〈derivation〉と解析的な微分の関係。「微分する＝テーラー展開する」だ。n階（n回）までの微分の情報は、n次までのテーラー展開に完全に含まれる。だから、オラクル〈神託〉でテーラー展開がもらえれば、それはもう微分できたことになる。問題…

作用の性質を表す言葉 - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 にもあるが、新たにまとめる。 Isotropy Group Some elements of a group G acting on a space X may fix a point x. These group elements form a subgroup called the isotropy group, d…

ノルが2004年に書いた、 Title: [3] Updating The Non-Linear Field Theories of Mechanics (2004) URL: http://www.math.cmu.edu/~wn0g/FC.pdf で40年前の著書のリバイス案を書いている。Bが（ノルの用語で）連続物体系〈continuous body system〉、Sが（ア…

ドナルドソンの論説 Title: Mathematical aspects of gauge theory: lecture notes (February 21, 2017) Author: Simon Donaldson Pages: 41p URL: https://www.lsgnt-cdt.ac.uk/assets/8h00svqzffcqd97tf8oxcokv199scmjb.pdf のp.3に、"The falling cat"の…

「連続物質の分類と系譜 by 徳岡辰雄」のp.3に、 https://www.jstage.jst.go.jp/article/jsms1963/30/335/30_335_755/_pdf 「対称群は直交群である」という奇妙な文が出てくる。「対称群」の意味が違うのだ。 独特 普通 対称群 対称性の群、ゲージ変換群 同…

ファイバーバンドル (E, B, F, π) のゲージとして、E|U→V×F の形のバンドル同型射をとる。ゲージは、多様体の同型射 U→V （V⊆Rn）に載ったバンドル同型射になる。ゲージ群としては、最も広い変換群である Aut(F) を取る。Aut(F) の定義の詳細は割愛するが、…

昨日書いた記事 "ゲージ理論としてのノル／ニュートン力学 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編" に補足。昨日記事の大筋はいいのだが、若干の誤認が含まれる。ニュートン場＝ニュートン・ゲージ系＝ニュートン／ユークリッド／ガリレイ・ファイバーバン…

ノル〈Walter Noll〉の論説をチラチラ読んでいる。 Title: Five Contributions to Natural Philosophy (2004) Author: Walter Noll Pages: 78p URL: http://www.math.cmu.edu/~wn0g/FC.pdf 目次： [0] Introduction 1 [1] On the Illusion of Physical Space…

https://d-nb.info/99486020X/34 に、ダニエル・アウブラム〈Daniel Aubram 発音はわからん〉本がマルマルPDFで置かれている。著作権が心配だったが、ドメイン d-nb.info は、ドイツ国立図書館のサービス用のドメインらしい。dnb.de が本家だが。 ドイツ国立…

passive＝受動的、active＝能動的 を、次のように使う。 {passive | active} {interpretation | reading} {passive | active} viewpoint {passive | active} transform{ation}? ベクトル成分（実数のタプル）を行列で変換するとき、 change-of-basis による…