快適な微分計算のための圏と微分公式微分の解析的な定義。無限次元でも通用する。無限次元でもノルムがあれば内部ホムが定義可能。部分写像 f:V⊇X→W の定義、X = def(f)。内部ホムと内部演算。フルカリー化はハット記号。要素・ポインター変換。微分コンビネ…

反変ベクトルと共変ベクトル -- これはイカンわ、ダメなヤツだわ。因習的微分幾何や物理で出てくるヤツ。まったく分からんヤツ。とりあえずは、特定のベクトル空間Vに対して、Vの要素が反変ベクトル、Vの双対空間の要素が共変ベクトル。が、ベクトル空間はフ…

多様体上では、「変数xに関する微分」は意味を持つ。が、「変数」は「関数」の意味で、「多様体上の座標成分関数xに対する微分」が意味を持つ。 変数＝座標成分関数 という記号はダメな記号だ。もう使わないほうがいい。 でよい。の使い所は限定的で： 標準…

X, Y∈Der(A)、f, g∈A のような記号を使う。X:A→A で、ライプニッツ法則を満たす。微分適用Dとリー括弧Lは、 D:Der(A)×A→A, D(X, f)∈A L:Der(A)×Der(A)→Der(A), L(X, Y)∈Der(A) 一般に、f:A×B→C が二項演算のとき、 f = f(-, -) 右カリー化 f∩(-) = f(-):A→[B…

ベクトル場と導分の対応は、可微分性補題が鍵だと分かった。まず、言葉の準備。 {偏}?微分係数 {偏}?導関数 {偏}?微分作用素 点導分 P, Q 領域導分 X, Y 対応は、 代数的・公理的 解析的・具体的 点導分 微分係数汎関数 領域導分 微分作用素 古臭いが、 汎関…

本編の 微分はライプニッツ法則に支配されている - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) の拡張として、ベクトル場と関数環の導分の対応がある。しかし、単なる代数的導分ではどうもうまくいかない。「導分←→ベクトル場」対応ではなくて、「導分層←→ベク…

アダマールの補題ってのがある。 https://ncatlab.org/nlab/show/Hadamard+lemma これは、テイラー／マクローリン展開の精密化になっているから、アダマール形式のテイラー／マクローリン展開と言っていいと思う。アダマール商を作用とみなして、アダマール…

少し前に調べたことがあった。 フーリエ解析 要旨 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 フーリエ解析 要旨の補遺 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 フーリエ解析 要旨の補遺の補遺 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 用語の観点からまとめ…

フーリエ解析の背後にある双対性は、リー群よりも広い範囲の位相群（局所コンパクト・ハウスドルフな可換群）で成立するポントリャーギン双対性らしい。双対ペアは、(S1, Z), (R, R)。ペアの片方がもう一方の双対群になっているが、Gの双対群をG∨とする。普…

群上のC値関数空間は、単にCベクトル空間になるだけでなくてC-環（C-代数）になる。2つの環構造＝乗法を持つ。 点ごとのCの掛け算を掛け算とする。 畳み込み演算を掛け算とする。 ひとつの関数空間に2つの環構造を同時に考えてもいいし、ひとつずつ考えても…

フーリエ解析を2つの部門（パート）に分ける。 名前 スペクトル 分解 合成 フーリエ級数 離散スペクトル 級数展開 (特になし) フーリエ変換 連続スペクトル フーリエ変換 フーリエ逆変換 工学では、時間領域と周波数領域という言葉を使う。周波数領域をスペ…