「ホムセット要素／色／極性の相当物の呼び名」の続き。
- 図／図式〈ダイアグラム〉はキャンバスに描かれる。
- キャンバスに穴〈holes〉があるかも知れない。
- 穴はインターフェイスを持ち、キャンバス自体も（外部境界の）インターフェイスを持つ。
- 複数の穴は複数のインターフェイスを持ち、それはインターフェイスのクラスター〈構造付き有限集合〉になる。
- インターフェイスに対する集合の割り当てをスピシーズと呼ぶ。単純な文脈ではスピシーズをファミリーと呼ぶ。
- 穴達〈holes = arguments〉に対するインターフェイスは、インターフェイスのクラスターを形成する。
- スピシーズがあると、穴達は“集合のクラスター”を作る。
- 図式セット〈set of diagrams〉〈フォレスト〉があり、所属する図式ごとに、スピシーズから決まる集合のクラスターからの関数が決まっているとき、それを当該図式に対するコンビネータと呼ぶ。
- 特定のスピシーズと図式でインデックスされたコンビネータの族を“インターフェイス付き図式セット”の集合表現〈set representation〉と呼ぶ。
- 図式 $`d`$ のコンビネータを $`\mathbb{K}_d`$ と書く。コンビネータは、複関手の複ホムパートになる。対象パートがスピシーズで与えられる。
- インターフェイス付き図式〈形状〉の集まりがスケマティック系だとすると、インターフェイス上のスピシーズと、コンビネータがスケマティック系の集合表現を与える。
- スケマティック系の集合表現の全体は圏となる。表現の圏／代数の圏。
スケマティック系としてのモノイド
- 色の集合は単元集合。
- アルファベットは図式〈シンボル〉の集合である。この場合、アルファベットの個々の文字が図式〈シンボル〉になる。
- 文字＝図式＝シンボルのインターフェイス〈インターフェイス〉は単元集合に値を取る。
- スピシーズは単一の集合のことである。
- スピシーズが定義する集合のクラスターは、集合のリスト。意味は直積。
- 図式〈シンボル〉ごとのコンビネータは、$`\mathbb{K}_a : X \to X`$ という写像。
- 図式〈シンボル〉ごとのコンビネータ＝文字ごとの写像があれば、自由モノイドに拡張できる。
- 異なるアルファベットは、異なるスケマティック系を定義する。
- アイテムセットは、表現集合となり、アイテムとは表現集合の要素である。
- アイテムのリラベリングによる転移は発生しない。
スケマティック系としての圏
- グラフの頂点が色となる。
- グラフの辺が図式〈シンボル〉となる。図式〈シンボル〉の集合は、辺の集合。
- 辺＝図式＝シンボルのインターフェイス〈プロファイル | 色付きクラスター〉は、頂点のペアに値をとる。
- スピシーズは頂点に集合を割り当てる。
- スピシーズが定義する集合のクラスターは、集合のリスト。意味は直積。
- 図式＝辺 ごとのコンビネータは、$`\mathbb{K}_f : X \to Y`$ という写像。
- アイテムセットは、表現集合となり、アイテムとは表現集合の要素である。
- 異なるアルファベットは、異なる圏を定義する。
