基本概念

文書空間、Sは文字列の集合〈string型〉$`\newcommand{\u}[1]{\underline{#1} }
\newcommand{\o}[1]{\overline{#1} }
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} }
\newcommand{\In}{\text{ in } }
%`$

signature DocumentSpace within Set {
  0-mor L
  0-mor V
  1-mor dec
  law :: sujective(dec)
  law :: L ⊆ S
}

要は、全射 dec:L → L ⊆ S があるってこと。文書空間 D = (L, V, dec) の文書の集合は、

• Doc(D) := {(l, v)∈L×V | dec(l) = v }

記号の乱用で、

• $`D = (\u{D}, \o{D}, \mrm{dec}_D)`$
• $`D = \mrm{Doc}(D)`$

文書空間 $`D, E`$ のあいだの準同型射は、写像の組 $`f = (\u{f}, \o{f})`$ で

$`\require{AMScd}
\begin{CD}
\u{D} @>{\u{f}}>> \u{E}\\
@V{\mrm{dec}_D}VV @VV{\mrm{dec}_E}V\\
\o{D} @>{\o{f}}>> \o{E}
\end{CD}\\
\text{commutative in }{\bf Set}`$

文書空間の圏は $`{\bf Doc}`$ 。

文書空間ファミリーは、

$`\quad F:I → |{\bf Doc}| \In {\bf SET}`$

という写像、あるいは集合を離散圏と見て、

$`\quad F:I → {\bf Doc} \In {\bf CAT}`$

文書型と文書空間が同義なので、文書型ファミリー＝文書空間ファミリー。

拡張コンテナ関手は、

$`\quad [I, {\bf Doc}] \to {\bf Doc} \In {\bf CAT}`$

形状データの理論と組み合わせる。