テンソルネットワーク

メモ

https://arxiv.org/pdf/1603.03039.pdf からの引用とコメント。コメントは引用の後。引用に関係しないコメントもある。

1 Introduction to Tensor Network Notation

Tensor network notation (TNN) can be considered a generalisation of Einstein summation notation

  • Notation は Drawing/Diagramming〈図法〉も含む。

1.1 Tensors

a rank-$`r`$ tensor of dimensions $`d_1 \times \cdots \times d_r`$ is an element of $`{\bf C}^{d_1 \times \cdots \times d_r}`$.

scalars, vectors and matrices are all therefore rank 0, 1 and 2 tensors respectively.

  • このランク〈階数〉は総ランク、二部テンソル〈bipartite tensor〉なら入力ランクと出力ランクがある。
  • 「テンソルの脚〈legs〉」という言い方は使っている。脚とインデックスは同義語。
  • ランクはすべての脚の本数。
  • ヒルベルト空間状態のときは、もと空間と双対空間の区別のためにテンソルの向き〈direction〉を考える。このときの向きは二分割のことだろう。
  • 共変インデックスと反変インデックスの区別は、もとの空間に居るか双対空間に居るかによる区別。
  • flipping a network (upward and downward legs being echanged) と言っている。イマイチ意味不明。

1.2 Tensor operations

The main advantage in TNN comes in representing tensors that are themselves composed of several
other tensors. The two main operations we will consider are those of the tensor product and trace, typically used in the joint operation of contraction.

  • 1.2.2 Trace -- 基本演算をテンソル積とトレースにしている。トレースはレース付きモノイド圏の意味のトレース。テンソル積してからトレースをとると、結合も定義できる。背景はトレース付き対称モノイド圏。
  • full trace と partial trace の用語で困った！ 単なるトレースを部分トレースと呼んでいる。
  • partialでないトレースはフルトレースで、行列の対角和と同じ。完全なループを作る。
  • 1.2.3 Contraction -- 射〈ボックス〉の結合は contraction と呼んでいる。
  • この論文は、射の描画方向を右から左にしているかも。

1.2.4 Grouping and splitting

Rank is a rather fluid concept in the study of tensor networks.

  • これは、再配置と再編成でどうにでもなる、ということ。
  • 総次元 the overall dimension は $`\prod_i d_i`$ のこと。
  • ランクと脚ごとの次元〈dimension | 基数〉と総次元〈総基数〉が混乱しそう。
  • contraction = composition は行列積で計算できる。そのとき再編成する。
  • 再編成の合流を grouping 、再編成の分岐〈分流〉を splitting と呼んでいる。

1.3 Tensor networks

Combining the above tensor operations, we can now give a single definition of a tensor network. A tensor network is a diagram which tells us how to combine several tensors into a single omposite tensor.

The rank of this overall tensor is given by the number of unmatched legs in the diagram.

  • テンソルネットワークは要するにストリング図のこと。
  • テンソルネットワークはテンソル項の絵図表現。
  • テンソルネットワークの前にテンソル指標がある。
  • 半グラフ理論が必要だ。