微分幾何用線形代数

呼び名：

1. V_k の要素 ＝ ベクトル横k-タプル
2. (V^*)^k の要素 ＝ コベクトル縦k-タプル
3. R^k の要素 ＝ スカラー縦k-タプル
4. R_k の要素 ＝ スカラー横k-タプル

積＝双線形写像 を定義する。dim(V) = n で、k は任意の自然数

1. V_k × R^k →V k-スパニング
2. (V^*)^k × V →R^k k-{座標}?計測
3. R_k × (V^*)^k →V^* k-余スパニング
4. V^* × V_k→R_k k-余{座標}?計測
5. (V^*)^k × V_k →R_k^k 双計測

カリー化した場合：

1. L(R^k, V) k-スパニング写像 スカラー縦タプルから
2. L(V, R^k) k-計測写像 スカラー縦タプルへ
3. L(R_k, V^*) 余スパニング写像＝余ベクトル空間のk-スパニング写像 スカラー横タプルから
4. L(V^*, R_k) 余計測写像＝余ベクトル空間のk-計測写像 スカラ横タプルへ

ほんとは2次元の絵を描くべきだが：

1. 双対メイト L(R^k, V) ←→ L(V^*, R_k)
2. 双対メイト L(R_k, V^*) ←→ L(V, R^k)
3. 同伴／逆メイト L(Rⁿ, V) ←→ L(R_n, V^*)
4. 同伴／逆メイト L(V, Rⁿ) ←→ L(V^*, R_n)
5. 逆 LIso(Rⁿ, V) ←→ LIso(V, Rⁿ)
6. 逆 LIso(R_n, V^*) ←→ LIso(V^*, R_n)
7. 表現 L(R^k, V) ←→ V_k
8. 表現 L(R_k, V^*) ←→ (V^*)^k

場＝セクションへの拡張

一点	領域	別名
スカラー	スカラー場	関数
ベクトル	ベクトル場
コベクトル	コクトル場	微分形式
行列	行列場	関数行列

行列場（の全体）は Γ_M(U, Mat[R](n, m))、関数行列（の全体）は、Mat[C^∞_M(U)](n, m) 。