写像の局所的性質と葉層

葉層概念（局所、大域）はすごく重要だと思う。

まず、ユークリッド線形圏（デカルト線形空間の圏）で、次の完全列がある。

• Rⁿ --(i)→ R^n+k --(p)→ R^k

ここで、

• i = i^n,k ： 域次元n, 余次元kの標準埋め込み〈入射〉線形写像
• p = p^n,k ： 余次元k, 核次元kの標準射影線形写像

さらに、

• (Rⁿ_c)_c∈R^k --(i_c)→ R^n+k --(p)→ R^k

は、c∈R^k をパラメータにした埋め込みアフィン線形写像の族。

以上の状況が、R^n+k上の自明葉層、標準葉層を決める。

次のような概念が、この状況に関係する。

1. 前葉層＝部分多様体による分割
2. 局所自明な前葉層＝葉層
3. 葉層チャートと葉層アトラス
4. n-パスと積分写像
5. 積分写像と積分多様体
6. n-複接ベクトル場とn-接分布
7. n-複接ベクトル場とn-パフ系、n-パフ系＝n-複微分形式
8. 陰関数定理と逆関数定理
9. フロベニウスの定理
10. パス次元／葉次元が1の場合のフロー定理

沈め込みとはめ込みに関して、次の標準化定理がある。

• 沈め込み M→N は、Mの各点ごとに局所葉層を定義する。
• はめ込み M→N は、局所葉層 M×I -(φ_i)→ N に拡張できる。

つまり、多様体と写像は、局所的には常に縞模様を描く。