微分公式

本編ネタ 教育 STEM 幾何っぽい

本編 さまざまな関手／オペレータと微分の表示 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) に関連して。

  • \dot{x} は、接バンドルのホロノーム座標のファイバー成分
  • \check{x} は、余接バンドルのホロノーム座標のファイバー成分
  • \frac{\partial \phi}{\partial x} は、ユークリッド空間Rn値関数のヤコビアン

次のプロファイルを持つ。\newcommand{R}{{\bf R}}

  • \dot{x}:TM|_{def(x)} \to \R^m
  • \check{x}:T^\ast M|_{def(x)} \to \R_m
  • \frac{\partial \phi}{\partial x} \in \Gamma_M(Mat(m, n)|_{def(x)})

次の公式を合理的に解釈するのが課題

  • \dot{y} = \partial(y\circ x^{-1}) \cdot \dot{x}
  • \check{y} = \check{x}\cdot \partial(y\circ x^{-1})
  • Df = \frac{\partial}{\partial z}\cdot \frac{\partial (z\circ f)}{\partial x}\cdot dx

当然に、さまざまは“変換”〈キャスト | コアージョン〉をかます。