ベクトルバンドル層＝ベクトルバンドルから作られる加群層＝局所有限階数自由加群層 のあいだの層射を考える。
まず、ベクトルバンドル層 ℓΓ(E) をR-ベクトル空間層と考えて、層射がR-線形写像の層射のとき、単に作用素と呼ぶ。言葉を、文脈により特化して使っている（一般用語を特別な意味で）。作用素は、定義よりR-線形であり、層だから局所性を持つ。つまり、作用素＝局所性を持つR-線形写像の族。
作用素 ℓΓ(E)→ℓΓ(F) over M が ΦM に対して線形のとき、作用素はテンソル的〈tensorial〉だという。テンソル的な作用をテンソル作用素〈tensorial operator〉と呼ぶ。A:ℓΓ(E)→ℓΓ(F) over M がテンソル作用素のとき、A∈ℓΓ(F)(ℓΓ(E))* とみなせる。'∈' は層理論の意味での所属。
J:ℓΓ(E)→ℓΓ(F) over M がテンソル作用素とする。つまり、ΦM-加群層としての準同型層射。D:ℓΓ(E)→ℓΓ(F)ΩM がライプニッツ法則を満たせば、作用素Dは微分的〈differential〉と呼ぶ。微分的な作用素を微分作用素または導分〈derivation〉と呼ぶ。微分作用素〈導分〉と共変微分は同義語。以下は同義語で、雰囲気的に使い分ける：
ベクトルバンドルの同型射〈可逆射〉達があると、その同型射達を使って作用素を変換できる。同型射の向きにより、いくつかの方向の変換が定義できる。同型射、変換の方向性はかなり混乱する。
局所的ベクトルバンドル（開集合への制限）において、ゲージ（＝ユークリッドファイバーのベクトルバンドルへの局所自明化）とフレーム（ゲージの逆）による作用素変換が起きる。座標に伴うホロノーム{ゲージ | フレーム}による作用素変換は、ホロノーム変換〈holonomic transform〉と呼ぶ。ゲージ／フレームがホロノームでないベクトルバンドルも、もちろん扱う。
