ファミリー／バンドル同型定理
$`\quad {\bf CAT}(\delta A, {\bf Set}) \cong {\bf Set}_{/A} \text{ in }{\bf CAT}`$
対象部分だけを取り出すと：
$`\quad \mathrm{MAP}(A, |{\bf Set}|) \cong |{\bf Set}_{/A}| \text{ in }{\bf SET}`$
対象部分を別表記を使って記述すると：
$`\quad \mathrm{Fam}[A] \cong \mathrm{Bun}[A] \text{ in }{\bf SET}`$
もとの定理を別表記を使って記述すると：
$`\quad \mathcal{Fam}[A] \cong \mathcal{Bun}[A] \text{ in }{\bf CAT}`$
大域化すると：
$`\quad \mathcal{Fam} \cong \mathcal{Bun} \text{ in } \mathbb{CAT}({\bf Set}, {\bf CAT})`$
一般化すると：
$`\quad \mathcal{Fam} \cong \mathcal{Bun} \text{ in } \mathbb{CAT}(\mathcal{C}, {\bf CAT})`$
スパイダー／ヘッジ分解定理
任意のローヴェア・コンビネーション（ローヴェア圏の射）は、スパイダー部分とヘッジ部分に一意的に分解できる。
定義：
- ローヴェア指標： 集合圏をターゲット圏とするデカルト圏構文の1-指標で、シングルソートで、オペレーションのコアリティがすべて1なもの。
- ローヴェアセオリー： ローヴェア指標のセオリー
- ローヴェア圏： ローヴェアセオリーに圏構造を入れたもの。対象は自然数になる。
- 最小ローヴェア圏： 空指標に対するローヴェア圏、L と書く。
- ローヴェア・コンビネーション： ローヴェア圏の射
- ローヴェア・スパイダー： ローヴェア・コンビネーションで、最小ローヴェア圏に入るもの。
- ツリー・コンビネーション： ストリング図がツリー形状になるコンビネーション
- ヘッジ・コンビネーション： ツリーを直積した型のローヴェア・コンビネーション
ローヴェア圏を $`\mathrm{ThCat}(\Sigma)`$ とすると、$`f:n \to m \text{ in }\mathrm{ThCat}(\Sigma)`$ は、次のように分解できる。
$`\quad f = s;h \text{ where } s\in {\bf L} = \mathrm{SpidTh}(\Sigma),\, h \in \mathrm{HedgeTh}(\Sigma)`$
よって、圏 $`\mathrm{ThCat}(\Sigma)`$ は、部分圏 $`{\bf L},\, \mathrm{HedgeTh}(\Sigma)`$ による因子分解系〈factorization system〉の構造を持つ。
