位相の完備束

Xを集合として、X上のすべての位相からなる集合をTop(X)とする。

• Top(X)⊆Pow(Pow(X)) ⇔ Top(X)∈Pow(Pow(Pow(X)))

Pow(X)の要素を「X上の集合」、Pow(Pow(X))の要素を「X上の集合族」または単に「X上の族」と呼ぶ。X上の集合族は、インデックスセットIを使って (A_i | i∈I) のようにも表す。A:I→Pow(X) であり、Im(A)⊆Pow(X) である。X上の集合族をそのまま（インデックス表示しないで）表すときはギリシャ文字小文字を使う。例： α = Im(A) = {A_i∈Pow(X) | i∈I} = {Y∈Pow(X) | ∃i∈I.(A_i = Y)} 。

Top(X)上に完備束構造を入れ、top:Pow(Pow(X))→Top(X) を定義する。top(α) は、「集合族αを含む最小の位相」の意味である。Top(X)上の完備束構造と、写像topを使うと、色々な位相の構成が出来る。

位相のミート

• 定理[位相の共通部分] (τ_i | i∈I) が、（インデックス表示された）X上の位相の族のとき、τ_i はX上の位相である。

次を示す。

1. X∈τ_i
2. ∅∈τ_i
3. U, V∈τ_i ⇒ U∩V∈τ_i
4. ∀λ∈Λ.(U_λ∈τ_i) ⇒ (U_λ)∈τ_i

• 命題1 X∈τ_i

各τ_iは位相なので、X∈τ_i； つまり

• ∀i∈I.(X∈τ_i)

これより、

• X∈τ_i

• 命題2 ∅∈τ_i

各τ_iは位相なので、∅∈τ_i； つまり

• ∀i∈I.(∅∈τ_i)

これより、

• ∅∈τ_i

• 命題3 U, V∈τ_i ⇒ U∩V∈τ_i

U, V∈τ_i を仮定すれば、

• ∀i∈I.(U, V∈T_i)

各τ_iは位相だから、U∩V∈τ_i なので、

• ∀i∈I.(U∩V∈T_i)

これより、

• U∩V∈τ_i

• 命題4 ∀λ∈Λ.(U_λ∈τ_i) ⇒ (U_λ)∈τ_i

λ∈Λ に関して U_λ∈τ_i を仮定すれば、

• ∀i∈I.(U_λ∈T_i)

各τ_iは位相だから、(U_λ)∈τ_i なので、

• ∀i∈I.( (U_λ)∈τ_i )

これより、

• (U_λ)∈τ_i

Top(X)のような、Pow(Pow(Pow(X))) の要素をギリシャ文字大文字 Γ, Φ などで表すことにする。念の為、文字の使い方は：

集合	集合の要素
Pow(X)	A, Y, U, V など
Pow(Pow(X))	α, γ, τ など
Pow(Pow(Pow(X)))	Γ, Φ など

定理[位相の共通部分]において、インデックス表示は本質的ではないので、次のように言っても同じである。

• 定理[位相のミート] 任意の Φ⊆Top(X) に対して、Top(X)内にΦのミート〈下限 | 最大下界〉が存在する。

Φのミートを Φ と書く。これは記号を変えただけで：

• Φ = Φ

順序集合のミートが存在すれば一意なので、は Pow(Top(X))→Top(X) という写像になる。つまり、位相の族に単一の位相を対応させる。

最小の位相

• 定理[最小の位相] 任意の γ∈Pow(Pow(X)) に対して、γを含む最小の位相が存在する。

γに対して Γ⊆Top(X) を次のように定義する。

• Γ := {τ∈Top(X) | γ⊆τ}

(Γ)∈Top(X) は、γを含む位相のなかで最小である。

Pow(Pow(X)) のなかでのγの上方集合を γ^↑ と表すと、Γ := γ^↑∩Top(X) となる。これを使うと：

• top(γ) := (γ^↑∩Top(X))

この定義により、top は top:Pow(Pow(X))→Top(X) として well-defined である。

位相のジョイン

τ, ρ∈Top(X) のとき、(τ∪ρ)∈Top(X) とは限らない。例えば、X = {1, 2, 3} の上の位相として：

1. τ = {{}, {1, 2}, {1, 2, 3}}
2. ρ = {{}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

τ∪ρ = {{}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}} は共通部分で閉じてない。

(τ_i | i∈I) が位相の族として、τ_i は位相とは限らないが、

• τ_i∈Pow(Pow(X))

は保証される。写像topは Pow(Pow(X)) 上で定義されているから、

• (τ_i | i∈I) := top(τ_i)

は well-defined で、族がインデックス表示でなくても有効なので、

• :Pow(Top(X))→Top(X)

も well-defined である。Φ⊆Top(X) に対して、Φ は、Φに入るすべての位相を含む位相のなかで最小のものなので、最小上界＝上限＝ジョイン である。

位相の生成系

任意の γ∈Pow(Pow(X)) に対して top(γ) = τ, τ∈Top(X) となる。このとき、

• 位相τは族γで生成された。
• 族γは位相τの生成系である。

と言う。族γが生成系になるための条件は特に何もない。任意の族が位相の生成系になれる。

任意の族ではなくて、特定の性質を持つ族に制限することもある。

1. 位相の基底
2. ミート（共通部分）で閉じた族＝ミート半束
3. 位相の準基底： 有限ミートの閉包をとると基底

ただし、これらの族でなくても位相の生成は出来るので、「特定の性質」に強い必然性があるわけではない。ほぼドーデモイイ話だろう。