継承 vs. パラメータ化

指標のパラメータ化とグロタンディーク構成 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)の応用。

次の3つは同値。

1. B inherits A where interfaceOf(A) = Δ, interfaceOf(B) = Σ = Δ +> Σ'
2. B implements (A)Σ'
3. B realizes (Δ)B' by A where (Δ)B':〚Δ〛→〚Σ〛

別な言い方をすると、次の3つの手法は（原理的には）同値：

1. クラス継承を使うこと。
2. パラメータ付きインターフェイスの具現化インターフェイスを実装すること。
3. パラメータ付きクラスを具現化すること。

上で使った書き方：

• ナニヤラ where アーダコーダ ： ナニヤラに含まれる未定義語・記号をアーダコーダと後から説明・定義。

背後の定義：

1. B inherits A :⇔ B implements Σ, A implements Δ, Σ = Δ +> Σ'
2. A implements Δ :⇔ A ∈₀ 〚Δ〛 where 〚Δ〛はインターフェイスΔのクラス圏＝Δの型クラス
3. B realize F by A :⇔ B = F(A)

呼び名：

1. Δ, Σ ： インターフェイス。意味はクラス圏。
2. Σ' ： インターフェイス断片
3. A, B ： クラス定義またはクラス実体。A と 〚A〛 の区別を曖昧化している。意味はクラス実体＝クラス圏の対象。
4. B' ： クラス定義断片。意味は定義できない。
5. (Δ)Σ' ： パラメータ付きインターフェイス。意味はインデックス付き圏。
6. (A)Σ' ： パラメータを具現化したインターフェイス。意味は、インデックス付き圏の値としての圏。
7. (Δ)B' ： パラメータ付きクラス、抽象クラス。意味はクラス圏のあいだの関手。
8. (A)B' ： 関手の値としてのクラス。

オマケ：

• 集合圏＝集合を対象とする圏
• 行列圏＝行列を射とする圏
• しりとり圏＝しりとり結合を結合とする圏
• モノイド圏＝モノイド構造を持つ圏
• モノイドの圏＝モノイドを対象とする圏