偏微分記号のオーバーロード

幾何っぽい 用語法

計算の利便性を追求した結果、凄まじいオーバーロード（多義的使用）を使う習慣が定着してしまった。今更どうにもならないので、必要に応じて区別して解釈する。 \newcommand{\hyph}{\mbox{-}} \newcommand{\modhom}{\underline{hom}} \newcommand{\incat}{\:\:\mbox{in}\:}

  1. Mは多様体
  2. UはMの開集合
  3. x:U→Rn は局所座標
  4. \cdot は、関数または関数タプルを右から掛ける掛け算記号

だとする。 \frac{\partial}{\partial x^i} のオーバーロードの典型的使用例（網羅はしてない）：

  1. \frac{\partial (\hyph) }{\partial x^i} : C^{\infty}(U) \to C^{\infty}(U) \incat {\bf R}\hyph{\bf Vect}
  2. \frac{\partial (\hyph)}{\partial x^i}|_{p} : C^{\infty}(U) \to {\bf R} \incat {\bf R}\hyph{\bf Vect}
  3. (\frac{\partial}{\partial x^i})_{(\hyph)}\cdot (\hyph) : U\times{\bf R} \to TM|_U \incat {\bf VectBdl}[U]
  4. (\frac{\partial}{\partial x^i}) \cdot (\hyph) : \Gamma_M(U, {\bf R}_M) \to \Gamma_M(U, TM) \incat C^\infty(U)\hyph{\bf Mod}
  5. (\frac{\partial (\hyph) }{\partial x^i})_{i\in 1..n} : C^{\infty}(U) \to (C^{\infty}(U))_n \incat {\bf R}\hyph{\bf Vect}
  6. ((\frac{\partial }{\partial x^i})_{i\in 1..n})_{(\hyph)}\cdot(\hyph) : U\times{\bf R}^n \to TM|_U \incat {\bf VectBdl}[U]
  7. (\frac{\partial }{\partial x^i})_{i\in 1..n}\cdot(\hyph) : \Gamma_M(U, {{\bf R}^n}_M) \to \Gamma_M(U, TM) \incat C^\infty(U)\hyph{\bf Mod}

説明：

  1. 関数への作用素としての \frac{\partial}{\partial x^i} は、R-線形なライプニッツ射〈導分〉。なお、 \frac{\partial (\hyph) }{\partial x^i} = \frac{\partial }{\partial x^i }(\hyph) 。
  2. 偏微分係数を取るのも、R-線形なライプニッツ射だが、値はR。なお、 \frac{\partial (\hyph)}{\partial x^i}|_{p} = \frac{\partial}{\partial x^i}|_{p} (\hyph)
  3. 点pでの接ベクトルは、 (\frac{\partial}{\partial x^i})_p 。これは、Rファイバーの自明ベクトルバンドルからのベクトルバンドル射とみなせる。
  4. 接ベクトル場も同じ記号 \frac{\partial}{\partial x^i} 。接ベクトル場は、セクション空間の要素〈セクション〉であり、関数環上の加群の要素でもある。加群要素は、関数環からの線形写像と同一視できる。 \Gamma_M(U, {\bf R}_M) \cong C^\infty(U) （イコールと思ってもよい）。
  5. 伝統的ベクトル解析における、作用素としての∇、つまり grad に相当するのかな。
  6. 接ベクトルバンドルのフレーム場。フレーム場は、ファイバー積によるベキ (TM|_U)^{[n]} のセクションともみなせる。
  7. フレーム場を加群のあいだの線形写像とみなしたもの。 \Gamma_M(U, {{\bf R}^n}_M) \cong (C^\infty(U))^n