便利で興味深い圏

ベクトル空間：

1. Vect = Vect-Bdl[1] ： ベクトル空間と線形写像
2. MetVect = MetVect-Bdl[1] ： 計量ベクトル空間〈内積ベクトル空間〉と線形写像
3. IsometMetVect = IsoMetVect-Bdl[1] ： 計量ベクトル空間と等長線形写像

ベクトルバンドル：

1. Vect-Bdl[-] ： ベクトルバンドルと底恒等なバンドル写像
2. MetVect-Bdl[-] ： 計量ベクトルバンドルと底恒等なバンドル写像
3. IsoMetVect-Bdl[-] ： 計量ベクトルバンドルと底恒等な等長バンドル写像

多様体：

1. Man ： 多様体と（なめらかな）写像
2. MetMan ： 計量多様体と写像
3. IsometMetMan ： 計量多様体と等長写像

接関手：

1. T:Man→VectBundle
2. T:MetMan→MetVectBundle
3. T:IsoMetMan→IsoMetVectBundle

次の圏は極めて重要

• RtripVectBundle ： ベクトルバンドルと往復〈round trip〉バンドル射の圏
• FwiVectBundle ： ベクトルバンドルとファイバーごとに可逆なバンドル射の圏

次の埋め込みがある。

1. FwiVectBundle → RtripVectBundle
2. IsometMetVectBundle → RtripVectBundle

接関手と組み合わせると：

• T^~:IsometMetMan→RtripVectBundle

このT^~により、次の具体例が理解される。

• f:R²⊇→R³ を球面の反チャートとすると、T^~f は往復バンドル射となり、R³上の標準共変微分を引き戻せる。