添字の用法は7種類以上

1. インデックス：
2. インデックス部分適用：
3. 型注釈：
4. 縮約：
5. オーバーロード解決
6. オペレータ：
7. 関連する略記：
8. 無関係： 二乗、逆、転置、双対

δのオーバーロード解決は、内積があればそのまま合理化できるが、内積がないときは、なんとマーカーをオーバーロードする。「オーバーロード解決用の目印をオーバーロードする」という凄まじさ。

インデックス用法でのアインシュタイン規約は、型注釈の縮約表現と区別が付かない。オペレータとしては、置換オペレータ、対称化オペレータ、交代化オペレータなど。

ラムダ記法、適用書式付きラムダ記法、無名変数簡易ラムダ記法を使えば、かなりスッキリする。

上付き・下付き添字をマジに考えたら頭痛がした - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)も参照。