- マルコフ {圏 | 射 | 核}
- ボレル {{関数 | 写像} | {部分}?集合 | {可測}?空間 | 関手}
- チャップマン／コルモゴロフ {公式 | 結合}
- ディラック {測度 | 関手}
- ブール {{真偽}?値 | {代数 | 束} | 論理}
- ベイズ {{修飾 | デコレーション} | 転置 | 反転 }
- クライスリ {構成 | 圏 | 埋め込み | {拡張}?{オペレータ{ー}?}? | 随伴 | {随伴}?転置{オペレータ{ー}?}? | {随伴}?反転置{オペレータ{ー}?}?}
- ジリィ モナド
- ジリィ／クライスリ 構成、成果物は確率圏〈stochastic category〉☓☓Stock、ただし FinStochはMeasStochの部分圏。
論理
| ブール論理 | ファジー論理 | マルコフ論理 |
|---|---|---|
| ブール真偽値 | ファジー真偽値 | ブール真偽値 |
| {ブール}?述語{関数}? | ファジー述語{関数}? | {マルコフ}?述語{核}? |
| ブール代数 | 相対効果代数 | ？ |
- ブール論理は、ファジー論理に部分系として埋め込める。部分系はクリスプネス〈crispness〉（パリパリのシャキシャキ）で特徴付けられる。クリスプ述語で構成される部分論理はクリスプ論理〈crisp logic〉と呼ぶ。クリスプ論理＝二値論理＝決定性論理
- ファジー論理はマルコフ論理と同値。マルコフ論理は、マルコフ圏のなかで展開されるファジー論理。
- ブール論理のファジー論理への埋め込みは包含だと考える。ハイパードクトリンの埋め込み関手で定義できる。
- ファジー論理とマルコフ論理は、クライスリ随伴（クライスリ圏構成により作られる随伴）で結ばれる。
- マルコフ述語核 β:X→2 in S に対して、対応するファジー述語関数を p = β1:X→[0, 1] in B とする。p# = β が成立する。(-)# は、クライスリ随伴 S(I(X), 2)
B(X, S(2)) にともなう随伴転置オペレーター。随伴反転置オペレーターは、ファジー述語関数をマルコフ述語核とみなす写像。
シャープネス定理
- マルコフ圏の意味でのシャープな〈決定性〉射の部分圏は、ディラック関手〈クライスリ埋め込み〉の像圏と一致する。
マルコフ述語核とファジー述語関数を同一視すると、シャープなマルコフ述語核とクリスプなファジー述語関数は一致して、それはブール述語関数のディラック関手〈クライスリ埋め込み〉像になる。
Bの射をSに移すには、ディラック関手〈クライスリ埋め込み〉とクライスリ反転置がある。これを混乱しない。ディラック関手は δ[-] 、クライスリ反転置は音楽記号 (-)♭ （半音さげる）とかで区別しよう。
マルコフ述語核とファジー述語関数を区別したり同一視したりが紛らわしいし、ディラック関手とクライスリ転置／反転置が混同しやすい。
ボレル☓☓☓に関する注意
- ボレル空間＝可測空間 （古い用法、使わない）
- ボレル空間＝位相空間から作られた可測空間、ボレル関手 Borel:Top→Meas の像圏の対象
- ボレル空間＝標準ボレル空間 （略記）制限されたボレル関手 Borel:Pol→Meas の像圏の対象
- ボレル写像＝可測写像 （古い用法、使わない）
これに伴い、
- ボレル集合＝可測集合 （古い用法、使わない）
- ボレル集合＝ボレル空間の可測集合
- ボレル集合＝標準ボレル空間の可測集合 ⊆概念として ボレル空間の可測写像
- ボレル写像＝ボレル空間のあいだの可測写像（制限的な用法）
標準ボレル空間に対する驚くべき定理： 加算を超える基数で可分な台位相空間を持つ標準ボレル空間（ポーランド空間のボレル関手像）は、実数とボレル同型（可測空間の圏内で同型）である。
