人名形容詞と確率論理とシャープネス定理とボレル☓☓☓

  1. マルコフ {圏 | 射 | 核}
  2. ボレル {{関数 | 写像} | {部分}?集合 | {可測}?空間 | 関手}
  3. チャップマン/コルモゴロフ {公式 | 結合}
  4. ディラック {測度 | 関手}
  5. ブール {{真偽}?値 | {代数 | 束} | 論理}
  6. ベイズ {{修飾 | デコレーション} | 転置 | 反転 }
  7. クライスリ {構成 | 圏 | 埋め込み | {拡張}?{オペレータ{ー}?}? | 随伴 | {随伴}?転置{オペレータ{ー}?}? | {随伴}?反転置{オペレータ{ー}?}?}
  8. ジリィ モナド
  9. ジリィ/クライスリ 構成、成果物は確率圏〈stochastic category〉☓☓Stock、ただし FinStochMeasStochの部分圏。
論理
ブール論理 ファジー論理 マルコフ論理
ブール真偽値 ファジー真偽値 ブール真偽値
{ブール}?述語{関数}? ファジー述語{関数}? {マルコフ}?述語{核}?
ブール代数 相対効果代数
  1. ブール論理は、ファジー論理に部分系として埋め込める。部分系はクリスプネス〈crispness〉(パリパリのシャキシャキ)で特徴付けられる。クリスプ述語で構成される部分論理はクリスプ論理〈crisp logic〉と呼ぶ。クリスプ論理=二値論理=決定性論理
  2. ファジー論理はマルコフ論理と同値。マルコフ論理は、マルコフ圏のなかで展開されるファジー論理。
  3. ブール論理のファジー論理への埋め込みは包含だと考える。ハイパードクトリンの埋め込み関手で定義できる。
  4. ファジー論理とマルコフ論理は、クライスリ随伴(クライスリ圏構成により作られる随伴)で結ばれる。
  5. マルコフ述語核 β:X→2 in S に対して、対応するファジー述語関数を p = β1:X→[0, 1] in B とする。p# = β が成立する。(-)# は、クライスリ随伴 S(I(X), 2) \cong B(X, S(2)) にともなう随伴転置オペレーター。随伴反転置オペレーターは、ファジー述語関数をマルコフ述語核とみなす写像
シャープネス定理
  • マルコフ圏の意味でのシャープな〈決定性〉射の部分圏は、ディラック関手〈クライスリ埋め込み〉の像圏と一致する。

マルコフ述語核とファジー述語関数を同一視すると、シャープなマルコフ述語核とクリスプなファジー述語関数は一致して、それはブール述語関数のディラック関手〈クライスリ埋め込み〉像になる。

Bの射をSに移すには、ディラック関手〈クライスリ埋め込み〉とクライスリ反転置がある。これを混乱しない。ディラック関手は δ[-] 、クライスリ反転置は音楽記号 (-) (半音さげる)とかで区別しよう。

マルコフ述語核とファジー述語関数を区別したり同一視したりが紛らわしいし、ディラック関手とクライスリ転置/反転置が混同しやすい。

ボレル☓☓☓に関する注意
  1. ボレル空間=可測空間 (古い用法、使わない)
  2. ボレル空間=位相空間から作られた可測空間、ボレル関手 Borel:TopMeas の像圏の対象
  3. ボレル空間=標準ボレル空間 (略記)制限されたボレル関手 Borel:PolMeas の像圏の対象
  4. ボレル写像=可測写像 (古い用法、使わない)

これに伴い、

  1. ボレル集合=可測集合 (古い用法、使わない)
  2. ボレル集合=ボレル空間の可測集合
  3. ボレル集合=標準ボレル空間の可測集合 ⊆概念として ボレル空間の可測写像
  4. ボレル写像=ボレル空間のあいだの可測写像(制限的な用法)

標準ボレル空間に対する驚くべき定理: 加算を超える基数で可分な台位相空間を持つ標準ボレル空間(ポーランド空間のボレル関手像)は、実数とボレル同型(可測空間の圏内で同型)である。