概ジリィ関手と概マルコフ核

課題 確率統計 モナド 圏一般論 機械学習っぽい

[追記]概より緩〈relaxed〉がいいかも[/追記]

Xは標準ボレル空間として、

  1. Π(X) ： X上の有限測度〈有界測度〉の全体、ベクトル錐〈半体上の半ベクトル空間〉
  2. Π=1(X) ： X上の確率測度の全体、凸代数〈凸空間〉
  3. Π≦1(X) ： X上の劣確率測度の全体、凸代数〈凸空間〉＋ [0, 1]上の相対効果代数

関手

  1. X \mapsto Π(X) 概ジリィ関手
  2. X \mapsto Π=1(X) ジリィ関手
  3. X \mapsto Π≦1(X) 劣ジリィ関手

測度的積分核

  1. X→Π(X) は、概マルコフ核
  2. X→Π=1(X) は、マルコフ核
  3. X→Π≦1(X) は、劣マルコフ核

SBorel上に、SBorelStock, SBorelSubStock, SBorelAlmStockができて、デルタ埋め込み関手も定義できる。

  1. δ:SBorel→SBorelAlmStock
  2. δ:SBorel→SBorelStock
  3. δ:SBorel→SBorelSubStock

ドバーカット〈Doberkat〉の逆転〈converse〉、ドールクゥイスト〈Dahlqvist〉の反転〈inversion〉をこの枠組で考える。反転は、ベクトル錐の双対錐とペアリング、錐の線形作用素理論を使って定式化したい。

それと、Π≠0 \cong Π=1(X)×R>0 が極分解を与えている。これとMaybeモナドで概ジリィモナドが再現しそう。