過去の「モダン化」への言及

テンソル：定義とか周辺の話とかナニやら - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)：

遠回りかも知れませんが、スッキリさせたいなら、次のような順序で学ぶのがいいような気がします（単なる主観だけど）。

1. 多様体の基礎的なこと
2. 双対空間とテンソル積／外積を含む複線形代数
3. 接バンドルとその双対（余接バンドル）、それらのテンソル積／外積
4. ベクトル場と微分形式
5. 一般のファイバーバンドルと切断面（セクション）の微積分（接続とか共変微分）

古典的微分幾何・ベクトル解析のモダン化： 局所座標って何だ？ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)：

微分幾何やベクトル解析のモダンな定式化とはどんなものでしょう。いろんな観点／意見があるでしょうが、僕にとっての“モダンな感じ”とは次のようなものです。

1. 圏論を使う。
2. ファイバーバンドルを使う。
3. 前層／層を使う。
4. 一般化線形代数を使う。

一般化線形代数とは、体上のベクトル空間だけでなく、可換環上の加群も扱う線形代数の意味で言ってます。