相関と因果と独立の雑多メモ - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

雑多、順不同。文献はコッチを見よ。

テンソル計算と、なんらかの双対性・随伴性があって、転置ができる計算系が必要だろう。転置により、ベクトル・コベクトル双対性が言えると、一様ベクトル〈uniform {vector | state}〉と破棄コベクトル〈discarding {covector | costate}〉は双対になるだろう。

コピーと廃棄によるコモノイドに双対な演算構造（代数構造）は、錐空間のアダマール積なのではないか。それなら、一様ベクトル／破棄コベクトルの双対は、コピー・コモノイド／アダマール・モノイドの双対性の一部になる。

デルタ（Δ）は対角、つまりは余積を意味するとする。f:A→B, g:B→C があるとき、左デルタ結合と右デルタ結合を次のように定義する。

f;Δ_B;(g $\otimes$ B) 左デルタ結合
f;Δ_B;(A $\otimes$ g) 右デルタ結合
デルタ積 := (左デルタ積または右デルタ積)

マルチベクトル ω:1→A $\otimes$ B があるとき、ベクトル φ:1→A と行列 f:A→B のデルタ積 φ;Δ_A;(A $\otimes$ f) と因子分解することを脱積分〈disintegration〉という。（これは積分とは無関係で、「崩壊」とか「壊滅」の意味かも。脱統合がいいかも。）

脱積分が可能である条件として、ωが全域〈total | full-supported〉である必要がある。ところが、全域性の定義は、順序と転置があれば公理的に出来る。となると、錐空間は順序を持ち、かつ双対を持つことになる； リース錘空間〈Riesz cone {space}?〉だ。非負行列の圏をモデルに考えると、ホムセットはリース錘空間で豊饒化されていて、コンパクト閉構造で双対性が与えられているのだろう。転置は、メイト対応で与えられる。

アダマール積が関係しそうな状況証拠として、p, qをマルコフ・ベクトル（縦ベクトル＝列ベクトル）として、アダマール積を p・q と書く。p:1→A に対して、pを対角成分に持つ対角行列を Diag(p) とすると：

Diag(p) = Δ_A;(A $\otimes$ p'), p' = (A $\otimes$ p);ε

と書ける。ここで、εは余単位＝余評価である。Diagはワイヤーベンディングとデルタ積を使って定義される。そして；

Diag(p・q) = Diag(p)Diag(q)

が成立する。これは、何らかの加群作用があるように見える。

一方で、直交基底は余代数や余加群として取り出せる。アダマール積の加群構造、コピーや直交基底による余加群構造、双対性があるのではないか？

ストリング図で言えば、相関はワイヤー並びを横方向に見ることであり、マルチベクトル 1→A₁ $\otimes$ ... $\otimes$ A_n があること。一方、因果構造〈causal structure〉とは、プロファイルが 1→A₁ $\otimes$ ... $\otimes$ A_n である様々なストリング図のこと。肝は：

ひとつのマルチベクトル・プロファイルに対して、それを実現するストリング図はたくさんある。

つまり：

ひとつの相関に対して、それを実現する因果構造はたくさんある。

マルチベクトル・プロファイルまたはマルチコベクトル・プロファイルは、単なる状態や観測に対応する。相関が観測されることと、特定の因果構造が存在することは別問題。因果構造の可能性はものすごく多様。

相関はプロファイルだから、因果構造はそのプロファイルのホムセットになる。ただし、構文圏側のホムセット＝ストリング図の集合。それらのストリング図は指標から生成される。

ベイジアンネットワークは、構文圏（ストリング図の圏）の射の表現方式。モデルはマルコフテンソルの圏にとる。ベイジアンネットワークに指標が定まるから、指標に対するモデルが決まる。指標射を考えると、スピヴァックの関手データモデル≒ローヴェア・セオリーと同じ構造になる。ブレンダン・フォングの因果セオリーも整合する。

因果＝因果構造＝ストリング図＝構文圏の射
相関＝モデル圏の射
因果→相関が、モデル関手／意味関手