多様体Mと任意の部分集合S（空でもよいし、Mでもよい）のペア (M, S) を染み付き多様体〈stained manifold〉と呼ぶ。
(M, S), (N, T) を2つの染み付き多様体として、fはS上のN値ジャームとする。S⊆U⊆openM であるUからの局所写像 U→N の同値類がジャーム。ジャームは、S→N という写像を定義する。これをジャームの芯〈core〉と呼ぶ。芯は染みS上で定義された関数。f(S) は、fの芯によるSの像として、f(S)⊆T を満たすジャームを、染み付き多様体の準同型射とする。
f:(M, S)→(N, T), g:(N, T)→(M, S) があって、芯 f|S, g|T が集合の同型を導くとき、染み同型と呼ぶ。染み付き多様体の圏の染み同型類をグリフ体〈glyfold〉と呼ぶ。
任意の多様体の空部分集合は空グリフ体を定義し、(M, M) は全域グリフ体＝多様体になる。よって、グリフ体の圏は多様体の圏を部分圏として含む。
