古典曲面論の局所同型

E³ はR³と同型なアフィン空間で、大域座標を持つ多様体。内積も持つのでリーマン多様体。座標は、内積を保存する大域線形座標を使うが、それでも座標の選び方は多様性がある。

1. ユークリッド座標： E³→R³
2. ユークリッド・ホロノーム座標： TE³→R³×R³
3. ユークリッド・フレーム： E³×R³→TE³
4. ユークリッド運動群： Aut(E³) アフィン構造を持つ計量空間と準同型の圏におけるAut群
5. ユークリッド・ゲージ： TE³→E³×R³ ユークリッド・フレームの逆

曲面は、E³の部分集合〈点集合〉だと考える。付点曲面〈pointed surface〉とは、曲面 S と一点 p の対 (S, p) 。

付点曲面 (S, p), (S', p') の局所同型は、pのユークリッド近傍 U⊆E³, p'のユークリッド近傍 U' があり、ユークリッド運動 m によって、m(p) = p', m(S∩U) = S'∩U', S∩U と S'∩U' は（集合として）同型 となること。

ユークリッド空間E³内の付点曲面は、この同型によって分類されて、その同型類は局所曲面と呼ぶ。

ジャームレベルで分類すると、無限小局所曲面になる。

このテの議論は、同値関係、同値分類、同値類、代表元 の枠組みで考えないと混乱する。