微分の上昇と下降 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

言葉に慣れる必要がある。多様体 M, N のあいだの写像 f:M→N に対して、その微分 df がどこに居るか？を考える。 $\newcommand{\hyph}{\mbox{-}} \newcommand{\incat}{\:\:\mbox{in}\:}$

Mの接ベクトル層〈tangent vector sheaf〉を次のように定義する。

fの接ベクトル層は：

fの微分 df は、fの接ベクトル層のなかに居る。

これの意味は：

$df : {\mathscr I} \to {\mathscr T}f \incat C^\infty\hyph{\bf Mod-Sh}[M]$ where ${\mathscr I} := C^\infty(M)$

微分のこ定式化はスッキリしている。合成微分公式と逆関数微分公式は、

$d(f;g) \in {\mathscr T}(f;g) = {\mathscr T}M \otimes f^{\dashv}( g^{\dashv}({\mathscr T}L) )$ on M

$d(f^{-1}) \in {\mathscr T}(f^{-1}) = {\mathscr T}N \otimes (f^{-1})^{\dashv}( {\mathscr T}M )$ on N

p:U→>M が被覆のとき、 $p^{\dashv}(df) \in p^{\dashv} {\mathscr T}f$ on U と微分を持ち上げることができるが、これを（「持ち上げる」ではなくて）dfを上昇させるという。

任意の被覆に対して上昇はすぐに作れる。一方、U上の任意のセクションを下降させることはできない。下降条件〈descent condition〉が必要になる。あるいは、下降データが必要になる。

もとの空間M上に居る微分 df は、被覆の圏のなかで（被覆の細分に関して）極限を取って再現される。被覆の圏や極限についてちゃんと考えないと、上昇と下降の議論はできない。

多様体ごとの接ベクトルバンドル層〈接ベクトル層 | 接バンドル層 | 接層〉 ${\mathscr T}M$ と、写像 f:M→N の接ベクトルバンドル層〈接ベクトル層 | 接バンドル層 | 接層〉 ${\mathscr T}f$ は非常によい概念・記法だと思う。

${\mathscr T}$ と d の組み合わせは、多様体の圏から、ベクトルバンドル層〈ベクトル層 | バンドル層〉の圏への関手となる。

${\mathscr T}$ を基準にして色々考えるといいと思う。