カルタン／ヴェイユの恒等式

メモ 幾何っぽい

リー微分、外微分、内微分の関係は 微分インフラとはカルタン微分計算系 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) カルタン微分計算系はいいぞ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) に書いた。

  1. d\circ d = 0
  2. d\circ L_X - L_X \circ d = 0
  3. d\circ i_X - i_X \circ d = L_X （マジック公式）
  4. L_X \circ L_Y - L_Y \circ L_X = L_{[X, Y]}
  5. L_X \circ i_Y - i_Y \circ L_X = i_{[X, Y]}
  6. i_X \circ i_Y + i_Y \circ i_X = 0
  1. [d, i_X ] = L_X （上記 3 マジック公式）
  2. [L_X, L_Y] = L_{[X, Y]} (上記 4)
  3. [L_X, i_Y] = i_{[X, Y]} (上記 5)
  4. [i_X, i_Y] = 0 （上記 6）

別なところでは、ヴェイユ〈Weil〉の等式〈identities〉とあった。

  1. [i_X, i_Y] = 0
  2. [L_X, i_Y] = i_{[X, Y]}
  3. [L_X, L_Y] = L_{[X, Y]}
  4. [d, i_X] = L_X （マジック公式）
  5. [d, L_X] = 0
  6. d^2 = 0

番号はどうでもいいとして、

http://www.chimaira.org/img5/cartan-relations.png

外微分の定義は：

(df)(x_1, \cdots, x_{n+1}) := \sum_i x_i f(x_1, \cdots, \hat{x_i}, \cdots, x_{n+1}) + \\ \sum_{i \lt j} f([x_i, x_j], x_1, \cdots, \hat{x_i}, \cdots, \hat{x_j}, \cdots, x_{n+1})

他に、

  1. \rho_a \circ L_X \circ {\rho_a}^{-1} = L_{\mathrm{Ad}_a} X
  2. \rho_a \circ i_X \circ {\rho_a}^{-1} = i_{\mathrm{Ad}_a} X