チェック亜群とチェック単体多様体

U:A → Open(M) を被覆だとする。添字集合がAが重要で、開集合の集合だと考えてはダメだ。

Uから作ったチェック亜群を ChG(U) する。

• 対象： |ChG(U)| := {(x, a)∈M×A | x∈U_a}
• 射： Mor(ChG(U)) := {(x, a, b)∈M×A×A | x∈U_a∩U_b}
• dom, cod： dom(​(x, a, b)) = a, dom(​(x, a, b)) = b
• 恒等射 id： id(​(x, a)) := (x, a, a)
• 結合 ; ： (x, a, b);(x, b, c) := (x, a, c) :(x, a) → (x, b)
• 逆： (x, a, b)^-1 := (x, b, a)

ChG(U) は可逆な射を持つ圏。圏のナーブ構成 N(C) をチェック亜群に適用すると N(ChG(U)) はチェック復体＝チェック単体集合となるだろう、たぶん。C 上に関手を考えると、関手係数の復体〈余復体〉を作れる。

単体集合なだけではなくて、単体空間あるいは単体多様体になる。|ChG(U)| も、M上の開集合を直和で寄せ集めた空間になり。|ChG(U)| → M という標準的な添加〈argumentation〉 がある。

添加付きの〈augmented〉な単体多様体で、係数関手を付けて余鎖腹体ができる。たぶん。