マリオス幾何メモ 3 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

関係する過去記事。

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まとめる - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

参考文献は：

Vector Sheaves Associated with Principal Sheaves (1998)
Author: E. Vassiliou / バシリウー〈ヴァシリウ〉
Pages: 11p
https://arxiv.org/abs/math/9810083

メモ：

$\mathcal{A}$ は環付き空間の構造層である環層
位相空間X上の層または前層の圏を明示してないが、Sh[X] または PSh[X] とする。どちらかを（あるいはどちらも）短く Set[X] とも書く。これはトポス。 $\mathcal{A}$ は、Set[X] の環対象。
群層は層の圏Set[X]内の群対象。
局所自明群層は、X上で局所的にG自明バンドルのセクション群層と同型。
群層 $\mathcal{G}$ 上の主層は、局所的に、群層の作用が、群乗法 $\mathcal{G}\times\mathcal{G} \to \mathcal{G}$ と同型な、群層が作用する集合層。
リー型群層は、群層 $\mathcal{G}$ に付加的構造〈extra structure〉が付いたもので、環層 $\mathcal{A}$ を係数とするリー代数層 $\mathcal{L}$ があって、リー代数層としての自己同型内部ホム層 $aut\_\mathcal{A}\mbox{-}{\bf LieAlg}[X](\mathcal{L})$ を群層の圏Grp[X]で考えて、 $\mathcal{G}$ からの表現 $\rho:\mathcal{G} \to aut\_\mathcal{A}\mbox{-}{\bf LieAlg}[X](\mathcal{L}) \mbox{ in }{\bf Grp}[X]$ が付いたもの。リー型群層は、 $(\mathcal{G}, \mathcal{L}, \rho)$ と書ける。
主層の台層（集合層） $\mathcal{P} \in {\bf Set}[X]$ が局所自明層とは、局所的に、Sファイバーの自明バンドルのセクション層と同型なこと。
局所的自明群層上の局所自明主層は、局所セクションの0-コチェーンが意味を持つ。局所セクションの0-コチェーンを結ぶ、 $\mathcal{G}$ 係数の1-コチェーンが定義できる。
リー型群層に対して、モーレー・カルタン微分が定義できる。モーレー・カルタン微分は、群の乗法に対する微分公式（対数微分公式）を満たす。
モーレー・カルタン微分を備えたリー型群層を、リー／モーレー／カルタン群層と呼ぶ。
リー／モーレー／カルタン群層があると、その上の主層に主共変微分を定義できる。
主共変微分は、主層の切断空間に入る微分演算で、右作用に対する微分公式を満たす。
リー／モーレー／カルタン群層上の主層と主共変微分の組をカルタン接続と呼ぶ。

以上でカルタン接続が定義できた。カルタン接続の圏とコジュール接続の圏の相互関係が、接続の理論の大きな話題。