セクション関手とグロタンディーク構成

圏一般論 幾何っぽい

次を混同しない。

  1. 層・前層の順像と逆像、随伴ペア
  2. 加群の係数拡大と係数制限、随伴ペア
  3. バンドルの引き戻し ペアになってない

インデックス付き圏とファイバー付き圏の同値によって次のような図式ができる。

\require{AMScd}\newcommand{\hyp}{\mbox{-}} \begin{CD} \int_{m\in {\bf Man}} {\bf VectBdl}[m] @>{\int_{m\in {\bf Man}}\Gamma_{[m]} }>> \int_{r\in {\bf Rng}} (r)\hyp{\bf Mod} \\ @V{\cong}VV @VV{\cong}V \\ {\bf VectBundle} @>{\Gamma}>> {\bf Module}^{CRes} \\ @VVV @VVV \\ {\bf Man} @>{C^\infty}>> {\bf Rng} \end{CD}

出てくる記号：

  1. C^\infty : {\bf Man}^{op} \to {\bf Rng} 関数環
  2. \Gamma_{[M]} : {\bf VectBdl}[M] \to C^\infty(M)\hyp{\bf Mod} 特定多様体上のセクション関手
  3. \Gamma : {\bf VectBundle} \to {\bf Module}^{CRes} 一般的な（ビッグな）セクション関手
  4. {\bf VectBdl}[\hyp]: {\bf Man}^{op} \to {\bf CAT} インデックス付き圏、バンドルの引き戻しによる
  5. (\hyp)\hyp{\bf Mod}^{CRes}: {\bf Rng}^{op} \to {\bf CAT} インデックス付き圏、係数制限（CRes = coefficient/scalar restriction）による
  6. C^\infty(\hyp)\hyp{\bf Mod}^{CRes} : {\bf Man}^{op} \to {\bf CAT} インデックス付き圏